"Ласточки" и "креветки"

Биквадратичное отображение и ласточка Милнора

Рассмотрим переплетение областей регулярной и хаотической динамики на двумерной плоскости параметров. Как следует из первого рисунка, у вещественного биквадратичного отображения, зависящего от двух вещественных параметров (A,B)
    xn+1 = f(xn ) = (xn2 + A)2 + B
может быть одна или две устойчивые неподвижные точки. Каждая из них притягивает к себе ближайшие критические точки
    x1 = 0   или
    x2,3 = ±(-A)1/2   при   A < 0
(очевидно, что орбиты, начинающиеся в x2 и x3 совпадают). Пусть A = -1, тогда при B ~ 1 происходит первая касательная бифуркация в которой рождаются устойчивая и неустойчивая неподвижные точки (самая верхняя кривая - a на рисунке). При уменьшении B происходит вторая касательная бифуркация и у отображения появляется еще одна притягивающая точка (кривая - b).
Наконец, далее происходит обратная касательная бифуркация при которой устойчивая точка сливается с неустойчивой и они обе исчезают (самая нижняя кривая - c). На Fig.2 внизу на плоскость параметров (A,B) построены три красные кривые на которых происходят эти касательные бифуркации. Там же построена парабола B = -A2 на которой критическая точка x1 = 0 совпадает с неподвижной. На параболе A = -B2 неподвижна x2. Эти кривые образуют силуэт "ласточки Милнора" [1]. Направо области с ограниченными орбитами критических точек x1 = 0 и x2 выделены разными цветами и цифрами "1" и "2".
В хвосте ласточки (внутри области ограниченной красными бифуркацтонными кривыми) может существовать два аттрактора. Так на пересечении двух парабол в точке A = B = -1 у отображения две сверхустойчивые неподвижные точки x = 0 и x = -1. В зависимости от начальных условий ограниченные орбиты выходят на тот или другой аттрактор. Это отражается в различной ориентации ласточкиных хвостов на двух приведенных далее рисунках. Ниже показаны области регулярной и хаотической динамики орбит критической точки x1 (слева) и x2 (справа). Алгоритм построения бифуркационной диаграммы описан в конце страницы.

Управление "Охотником за креветками" Щелкните мышкой, чтобы определить период p в указанной точке. Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить (уменьшить) изображение в 2 раза. Держите <Shift> чтобы изменить масштаб в 4 раза.
В окрестности сверхустойчивой критической точки x1 = 0 (т.е. около нижней параболы B = -A2) при больших |A| можно пренебречь слагаемым x4
    xn+1 = (xn2 + A)2 + B ~ 2Axn2 + A2 + B .
Обозначим t = 2Ax, тогда
    tn+1 = tn2 + 2A(A2 + B) .
Это однопараметрическое квадратичное отображение с C = 2A(A2 + B). Поэтому при больших |A| каждое бифуркационное значение C* квадратичного отображения соответствуют бифуркационной кривой
    B* = C* / (2A) - A2
биквадратичного отображения. Аналогичную формулу можно получить для второй критической точки.
Вы видите последовательно справа налево: касательную бифуркацию, каскад бифуркаций удвоения периода, хаотическую область с окнами периодической динамики и кризис.

2D бифуркационная диаграмма для нелинейного отображения

Напомним, что главной особенностью области регулярной динамики квадратичного отображения, окруженной хаотической областью, является существование параметра c при котором отображение имеет сверхустойчивый цикл периода n (включающий критическую точку отображения). В этой области итерации f on(x) хорошо апроксимируются квадратичным отображением.
При наличии двух параметров, орбита будет сверхустойчивой вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. В перперндикулярном к этой кривой направлении бифуркации будут повторять бифуркации квадратичного отображения. Однако, если у отображения более чем одна критическая точка, то в точке пересечения двух кривых сверхустойчивости орбита становится дважды-сверхустойчивой. Рядом с этой точкой она хорошо апроксимируется композицией двух квадратичных отображений
    y' = x2 + c1 ,     x' = y2 + c2   или
    x' = (x2 + c1)2 + c2 ,
и линейной заменой координат (A,B) сводится к каноническому биквадратичному отображению [2].
Здесь вы видите "ласточку" или "креветку" соответствующую окну с периодом 3.

Вещественное кубическое отображение

"Охотник за креветками"

Для построения бифуркационной диаграммы при каждом значении (A,B) отображение итерируется 500 раз (начиная с одной из критических точек), после чего определяется период полученной траектории. Точки уходящие на бесконечность окрашены в серый цвет. Если итерации выходят на периодическую орбиту, тоочка окрашивается в соответствии с периодом. Если период больше 64, то строится черная точка, чтобы улучшить видимость маленьких "креветок". Заметим, что из-за медленной сходимости итераций в областях бифуркаций на картинке могут появляться нехаотические черные полосы между областями с разными периодами.

[1] J.Milnor "Remarks on iterated cubic maps" Exp.Math. 1 (1992), 5.
[2] B.R.Hunt, J.A.C.Gallas, C.Grebogi, J.A.Yorke, and H.Kocak Bifurcation Rigidity
Physica D 129 (1999), 35.
[3] Canonical Quartic Map


Содержание   «Логистическое отображение   »Отображение окружности
изменено 29 мая 06