"Ласточки" и "креветки"
Биквадратичное отображение и ласточка Милнора
Рассмотрим переплетение областей регулярной и хаотической динамики на
двумерной плоскости параметров. Как следует из первого рисунка, у
вещественного биквадратичного отображения, зависящего от двух вещественных
параметров (A,B)
|
xn+1 = f(xn ) =
(xn2 + A)2 + B
может быть одна или две устойчивые неподвижные точки. Каждая из них
притягивает к себе ближайшие критические точки
x1 = 0 или
x2,3 = ±(-A)1/2
при A < 0
(очевидно, что орбиты, начинающиеся в x2 и
x3 совпадают). Пусть A = -1, тогда при B ~ 1
происходит первая касательная бифуркация в которой рождаются устойчивая и
неустойчивая неподвижные точки (самая верхняя кривая - a на рисунке).
При уменьшении B происходит вторая касательная бифуркация и у
отображения появляется еще одна притягивающая точка (кривая - b).
|
Наконец, далее происходит
обратная касательная бифуркация при которой устойчивая точка сливается с
неустойчивой и они обе исчезают (самая нижняя кривая - c).
На Fig.2 внизу на плоскость параметров (A,B) построены три красные
кривые на которых происходят эти касательные бифуркации.
Там же построена парабола B = -A2 на которой критическая
точка x1 = 0 совпадает с неподвижной. На параболе
A = -B2 неподвижна x2.
Эти кривые образуют силуэт "ласточки Милнора" [1].
Направо области с ограниченными орбитами критических точек
x1 = 0 и x2
выделены разными цветами и цифрами "1" и "2".
В хвосте ласточки (внутри области ограниченной красными бифуркацтонными кривыми)
может существовать два аттрактора. Так на пересечении двух парабол в точке
A = B = -1 у отображения две сверхустойчивые неподвижные точки
x = 0 и x = -1.
В зависимости от начальных условий ограниченные орбиты выходят на
тот или другой аттрактор. Это отражается в различной ориентации
ласточкиных хвостов на двух приведенных далее рисунках.
Ниже показаны области регулярной и хаотической динамики орбит критической
точки x1 (слева) и x2 (справа).
Алгоритм построения бифуркационной диаграммы описан в конце страницы.
Управление "Охотником за креветками"
Щелкните мышкой, чтобы определить период p в указанной точке.
Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить
(уменьшить) изображение в 2 раза.
Держите <Shift> чтобы изменить масштаб в 4 раза.
|
|
В окрестности сверхустойчивой критической точки x1 = 0
(т.е. около нижней параболы B = -A2)
при больших |A| можно пренебречь слагаемым x4
xn+1 = (xn2 +
A)2 + B ~ 2Axn2 + A2 + B .
Обозначим t = 2Ax, тогда
tn+1 = tn2 +
2A(A2 + B) .
Это однопараметрическое квадратичное отображение с
C = 2A(A2 + B). Поэтому при больших |A| каждое
бифуркационное значение C* квадратичного отображения
соответствуют бифуркационной кривой
B* = C* / (2A) - A2
биквадратичного отображения.
Аналогичную формулу можно получить для второй критической точки.
|
Вы видите последовательно справа налево: касательную бифуркацию, каскад
бифуркаций удвоения периода, хаотическую область с окнами периодической
динамики и кризис.
2D бифуркационная диаграмма для нелинейного
отображения
Напомним, что главной особенностью области регулярной динамики квадратичного
отображения, окруженной хаотической областью, является существование параметра
c при котором отображение имеет сверхустойчивый цикл периода n
(включающий критическую точку отображения). В этой области итерации
f on(x) хорошо апроксимируются квадратичным отображением.
|
|
При наличии двух параметров, орбита будет сверхустойчивой вдоль некоторой
кривой в пространстве параметров. В перперндикулярном к этой
кривой направлении бифуркации будут повторять бифуркации квадратичного
отображения.
Однако, если у отображения более чем одна критическая точка, то в точке
пересечения двух кривых сверхустойчивости орбита становится
дважды-сверхустойчивой. Рядом с этой точкой она хорошо апроксимируется
композицией двух квадратичных отображений
y' = x2 + c1 ,
x' = y2 + c2 или
x' = (x2 + c1)2 +
c2 ,
и линейной заменой координат (A,B) сводится к каноническому
биквадратичному отображению [2].
Здесь вы видите "ласточку" или "креветку" соответствующую
окну с периодом 3.
|
Вещественное кубическое отображение
"Охотник за креветками"
Для построения бифуркационной диаграммы
при каждом значении (A,B) отображение итерируется 500 раз
(начиная с одной из критических точек), после чего определяется период
полученной траектории. Точки уходящие на бесконечность окрашены в серый цвет.
Если итерации выходят на периодическую орбиту, тоочка окрашивается в
соответствии с периодом. Если период больше 64, то строится черная
точка, чтобы улучшить видимость маленьких "креветок". Заметим, что
из-за медленной сходимости итераций в областях бифуркаций на картинке
могут появляться нехаотические черные
полосы между областями с разными периодами.
[1] J.Milnor "Remarks on iterated cubic maps"
Exp.Math. 1 (1992), 5.
[2] B.R.Hunt, J.A.C.Gallas, C.Grebogi, J.A.Yorke, and
H.Kocak Bifurcation
Rigidity
Physica D 129 (1999), 35.
[3] Canonical Quartic Map
Содержание
«Логистическое отображение
»Отображение окружности
изменено 29 мая 06