Бифуркации квадратичного отображения

Качественное изменение в динамике отображения при изменении параметра называется бифуркацией.

Касательная бифуркация

При c > 1/4 итерации квадратичного отображения расходятся. При c = 1/4 парабола касается зеленой диагонали и рождаются устойчивая x1 и неустойчивая x2 неподвижные точки. Это явление называется касательной бифуркацией.

Потащите параболу вниз мышкой.

Слева вы видите притягивающую орбиту с периодом 3. f o3(x) в начале координат (в окне справа) опять похожа на параболу. Поэтому этот цикл также рождается в точке касательной бифуркации при c = -1.75 и далее, при уменьшении параметра, повторяет весь каскад бифуркаций квадратичного отображения.

Бифуркация удвоения периода

При c < -3/4 производная в левой неподвижной точке f '(x1) = m < -1 и точка теряет устойчивость. В окрестности c = -3/4, после первой итерации δx' = mδx ~ -δx меняет знак, а после второй итерации снова δx'' = m2δx ~ δx. Поэтому у отображения появляется притягивающая периодическая орбита с периодом 2   x3 → x4 → x3 ... Это явление называется бифуркацией удвоения периода.
У второй итерации квадратичного отображения f o2(x) (вверху справа) при этом появляются две притягивающие неподвижные точки x3 , x4 (соответствующие устойчивому циклу) и неустойчивая x1 (между ними). Отметим, что около нуля f o2(x) похожа на параболу и при дальнейшем уменьшении c также испытывает бифуркацию удвоения периода после которой у квадратичного отображения появляется устойчивый цикл с периодом 4 и т.д. То, что устойчивые орбиты с разными периодами испытывают подобные бифуркации объясняется теорией перенормировок (renormalization theory). Заметим, что неустойчивые орбиты уже никогда больше не исчезают.

Бифуркационная диаграмма

Существует удобный способ следить за бифуркациями квадратичного отображения с помощью бифуркационной диаграммы (подобно бифуркационной диаграмме для логистического отображения). Будем строить итерации fc: x1 = 0 → x2 → x3 → ...→ xMaxIt для вещественных c на плоскости (x, c). Цвета (от синего к красному) показывают, как часто орбита попадает в данный пиксел (отметим, что цвета меняются при изменении увеличения картинки). Обычно на бифуркационной диаграмме не строятся начальные точки, чтобы оставить только аттрактор отображения. Однако переходный процесс показывает, как быстро сходятся итерации. Вы можете также проследить за орбитой точки x = 0 при соответствующем значении c на итерационной диаграмме справа.
Управление: Щелкните мышкой, чтобы растянуть бифуркационную диаграмму в 2 раза. Щелкните мышкой с <Ctrl> чтобы сжать картинку. Держите <Shift>, чтобы растянуть изображение только в c (вертикальном) направлении. MaxIt = 2000. Координаты центра изображения x,c и Δx,Δc отображаются в текстовом поле. Синяя вертикальная линия проходит через начальную точку x = 0.
Верхняя часть диаграммы начинается с касательной бифуркации при c = 1/4. При -3/4 ≤ c ≤ 1/4 существует единственная неподвижная притягивающая точка (или устойчивая орбита с периодом 1). "Волосы" показывают, как быстро орбита критической точки притягивается к аттрактору. При c = 0 неподвижная точка совпадает с критической xc = 0 (синяя вертикальная линяя) и становится сверхустойчивой. Рядом с c = -3/4 видна точка ветвления бифуркации удвоения периода, после чего неподвижная точка теряет устойчивость и появляется притягивающая орбита с периодом 2. При c = -1 орбита с периодом 2 также проходит через критическую точку и становится сверхустойчивой.
Далее она снова испытывает бифуркацию удвоения периода, после чего возникает притягивающая орбита с периодом 4 и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода заканчивается при c = -1.401155 после чего возникает область хаотической динамики, которая заканчивается кризисом при c = -2. После кризиса остается только канторов репеллер (меры ноль), а итерации критической точки расходятся. В области хаотической динамики видны узкие горизонтальные белые полосы окон периодического движения. Самая большая полоса внизу соответствует окну с периодом 3. Окно разделено тремя узкими областями, соединяющими хаотические зоны.
При итерациях орбита последовательно прыгает из одной области в другую. Центральная область является уменьшенной (и зеркально отраженной) копией всей диаграммы, т.к. из-за перенормировки бифуркации орбиты с периодом 3 (или отображения f o3(x)) повторяют весь каскад бифуркаций f(x). Поэтому любое окно начинается с касательной бифуркации, испытывает каскад бифуркаций удвоения периода и заканчивается кризисом.
Мы так подробно рассмотрели бифуркации квадратичного отображения потому, что из-за перенормировки подобная бифуркационная диагармма является типичной и универсальной для нелинейных систем.
В окне справа для сравнения приведено множеством Мандельброта (повернуто на 90o).

Распределение каустик на бифуркационной диаграмме

Fig.1 поясняет, как точки хаотической орбиты попадая в окрестность экстремума отображения образуют каустику. Поэтому сингулярности на диаграмме (выделенные в хаотической зоне красным цветом) появляются на образах критической точки fc on(0). Обозначая gn(c) = fcon(0), получим
    go(c) = 0,   g1(c) = c,   g2(c) = c2 + c, ...
Кривые g0,1,...,6(c) показаны на Fig.2.
Отметим, что аттрактор квадратичного отображения заключен между кривыми g1(c) и g2(c).
В точке пересечения каустики с вертикальной прямой x = 0 на диаграмме
    gk(c) = fcok(0) = 0.
Т.е. этому значению параметра соответсвует сверхустойчивый цикл с периодом k. В окрестности этой точки есть соответствующее этому циклу окно периодической динамики.

Содержание   «Итерации квадратичного отображения   »Подобие окон регулярной динамики
изменено 2 июля 07