|
Канторов странный репеллерКак видно из рисунка, при c < -2 интервал (BC) отображается за пределы инвариантного интервала Ic и при итерациях его точки уходят на бесконечность. Два интервала [AB] и [BC] отображаются на Ic. Поэтому, так же как и для отображения тент (последовательным удалением центральной части отрезков), у квадратичного отображения возникает обладающий нулевой мерой канторов репеллер (ниже показан репеллер при c = -3). |
|
В 1975г. Ли и Йорке опубликовали ставшую широко известной работу
"Period three implies chaos". Оказывается, что если у одномерного
отображения есть цикл с периодом 3, то оно имеет континуум случайных
траекторий.
Пусть a, b, c - элементы цикла с периодом 3 такие, что
f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a и b < c (случай b > c рассматривается аналогично). Как следует из рисунка, для произвольной непрерывной f(x) обратная функция будет многозначной в интервале (b,c). При итерациях обратного отображения точка из (a,b) попадает в интервал (b,c). А в нем мы можем выбирать одну из ветвей случайным образом, получая в итоге хаотическую (случайную) траекторию. |
Как мы уже знаем, устойчивый и неустойчивый циклы квадратичного отображения с периодом p рождаются при касательной бифуркации f op(x). При дальнейшем уменьшении параметра c притягивающий цикл теряет устойчивось и рождается новый устойчивый цикл с удвоенным периодом. Неустойчивые циклы уже никогда не исчезают. Т.о. после завершения каскада бифуркаций удвоения периода у квадратичного отображения возникает бесконечное множество неустойчивых периодических орбит.
Определить период М-карлика и убедиться в их плотности вдоль вещественной оси можно также с помощью анимации Cantor trip.
[1] Mikhail Lyubich The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos Notices of the AMS, 47, 1042-1052 (2000)