Канторовы структуры

Канторов странный репеллер

Как видно из рисунка, при c < -2 интервал (BC) отображается за пределы инвариантного интервала Ic и при итерациях его точки уходят на бесконечность. Два интервала [AB] и [BC] отображаются на Ic. Поэтому, так же как и для отображения тент (последовательным удалением центральной части отрезков), у квадратичного отображения возникает обладающий нулевой мерой канторов репеллер (ниже показан репеллер при c = -3).

Далее на плоскости (x, c) показано, как странный репеллер меняется при изменении параметра c.

"Период 3 означает хаос"

В 1975г. Ли и Йорке опубликовали ставшую широко известной работу "Period three implies chaos". Оказывается, что если у одномерного отображения есть цикл с периодом 3, то оно имеет континуум случайных траекторий. Пусть a, b, c - элементы цикла с периодом 3 такие, что
    f(a) = b,   f(b) = c,   f(c) = a
и b < c (случай b > c рассматривается аналогично). Как следует из рисунка, для произвольной непрерывной f(x) обратная функция будет многозначной в интервале (b,c). При итерациях обратного отображения точка из (a,b) попадает в интервал (b,c). А в нем мы можем выбирать одну из ветвей случайным образом, получая в итоге хаотическую (случайную) траекторию.

Теорема Шарковского

Кроме того отображение с циклом с периодом 3 будет обладать периодическими орбитами со всевозможными периодами. Это утверждение является частным случаем теоремы Шарковского о том, что непрерывное отображение с циклом с периодом n имеет также и циклы со всевозможными периодами n', предшествующими n в списке
    1 < 2 < 22 < 23 < ... < 227 < 225 < 223 < ... < 2·7 < 2·5 < 2·3 < ... < 7 < 5 < 3
где   ... 7 5 3 означает последовательность всех нечетныж чисел.

Как мы уже знаем, устойчивый и неустойчивый циклы квадратичного отображения с периодом p рождаются при касательной бифуркации f op(x). При дальнейшем уменьшении параметра c притягивающий цикл теряет устойчивось и рождается новый устойчивый цикл с удвоенным периодом. Неустойчивые циклы уже никогда не исчезают. Т.о. после завершения каскада бифуркаций удвоения периода у квадратичного отображения возникает бесконечное множество неустойчивых периодических орбит.

Странный репеллер и регулярная динамика

Однако подобные структуры возникают и, например, при c = -1.7542 (соответствующем окну регулярной динамики). Почти для всех x из интервала Ic траектория притягивается к орбите с периодом-3 (эти точки лежат внутри окружностей). Оставшиеся (после удаления этих окружностей) точки снова образуют классическое множество Кантора - странный репеллер с нулевой мерой.

Даже регулярные отображения (с притягивающей периодической орбитой) обладют удивительной чувствительностью к начальным условиям. Отображение fco3 имеет 3 притягиваюшие неподвижные точки. На рисунке карлики J(0) (окружности) притягивающиеся к разным неподвижным точкам окрашены в разные цвета. Существует забавное "правмло светофора": в любом интервале между двумя наибольшими окружностями разного цвета есть еще одна большая окружность третьего цвета.

Т.о. все три цвета плотны на интервале Ic и бассейны притяжения разных притягивающих точек перемешаны сложным образом. Поэтому даже очень малое изменение начальных условий может приводить к сдвигу фазы установившихся периодических колебаний.

Основная дихотомия для квадратичного отображения

Почти для каждого c в [-2, 1/4], квадратичное отображение fc : x → x 2 + c или регулярное или стохастическое [1]
Для квадратичных отображений множество значений параметра c с хаотическим аттрактором имеет положительную меру Лебега, а притягивающие периодические орбиты плотны в этом интервале. Т.е. между любыми двумя хаотическими параметрами c всегда существует периодический интервал. Это можно мотивировать следующим образом. Для c соответствующего хаотической динамике рассмотрим критическую орбиту (выходящую из x = 0). Обычно через некоторое количество итераций эта орбита вернется достаточно близко к начальной точке. После чего ее можно будет "подогнать" к x = 0 малым изменением параметра c, получив т.о. сверхустойчивый цикл.

"Толстое" множество Кантора

Если в канторовом процессе выбросить центральную 1/3 часть интервала, затем центральную 1/9 у двух оставшихся отрезков, потом 1/27 и т.д., то полученное множество будет топологически эквивалентно классическому. Но т.к. "дыры" быстро уменьшаются в размерах, то "толстое" множество Кантора обладает положительной мерой Лебега и фрактальной размерностью 1. Так на интервале -2 ≤ c ≤ 1/4, области с хаотической динамикой обладают положительной мерой Лебега и образуют толстое множество Кантора. Ниже можно убедиться, что области регулярной динамики (черные М-карлики) плотны вдоль вещественной оси на комплексной плоскости.


Удивительно, что и для отображения четвертой степени (нижний рисунок) все окна периодического движения (отмечены окна с периодами-6,5,3) расположены в том же порядке при уменьшении c.

Определить период М-карлика и убедиться в их плотности вдоль вещественной оси можно также с помощью анимации Cantor trip.

[1] Mikhail Lyubich The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos Notices of the AMS, 47, 1042-1052 (2000)


Содержание   «Хаос в квадратичных отображениях   »"Переходный" хаос
изменено 8 ноября 06