Канторовы структуры

Канторов репеллер

Как видно из рисунка, при c < -2 интервал (BC) отображается за пределы инвариантного интервала Ic и при итерациях его точки уходят на бесконечность. Два интервала [AB] и [BC] отображаются на Ic. Поэтому, так же как и для отображения тент (последовательным удалением центральной части отрезков), у квадратичного отображения возникает обладающий нулевой мерой канторов репеллер.

Странный репеллер и регулярная динамика

Однако подобные структуры возникают и, например, при c = -1.7542 (соответствующем окну регулярной динамики). Почти для всех x из интервала Ic траектория притягивается к орбите с периодом-3 (эти точки лежат внутри окружностей). Оставшиеся (после удаления этих окружностей) точки снова образуют классическое множество Кантора - странный репеллер с нулевой мерой.

Как мы уже знаем, устойчивый и неустойчивый циклы квадратичного отображения с периодом p рождаются при касательной бифуркации f op(x). При дальнейшем уменьшении параметра c притягивающий цикл теряет устойчивось и рождается новый устойчивый цикл с удвоенным периодом. Неустойчивые циклы уже никогда не исчезают. Т.о. после завершения каскада бифуркаций удвоения периода у квадратичного отображения возникает бесконечное множество неустойчивых периодических орбит.

Основная дихотомия для квадратичного отображения

Почти для каждого c в [-2, 1/4], квадратичное отображение fc : x → x 2 + c или регулярное или стохастическое [1]
Для квадратичных отображений множество значений параметра c с хаотическим аттрактором имеет положительную меру Лебега, а притягивающие периодические орбиты плотны в этом интервале. Т.е. между любыми двумя хаотическими параметрами c всегда существует периодический интервал.
Это можно мотивировать следующим образом. Для c соответствующего хаотической динамике рассмотрим критическую орбиту (выходящую из x = 0). Обычно через некоторое количество итераций эта орбита вернется достаточно близко к начальной точке. После чего ее можно будет "подогнать" к x = 0 малым изменением параметра c, получив т.о. сверхустойчивый цикл.

"Толстое" множество Кантора

Если в канторовом процессе выбросить центральную 1/3 часть интервала, затем центральную 1/9 у двух оставшихся отрезков, потом 1/27 и т.д., то полученное множество будет топологически эквивалентно классическому. Но т.к. "дыры" быстро уменьшаются в размерах, то "толстое" множество Кантора обладает положительной мерой Лебега и фрактальной размерностью 1. Так на интервале -2 ≤ c ≤ 1/4, области с хаотической динамикой обладают положительной мерой Лебега и образуют толстое множество Кантора. Ниже можно убедиться, что области регулярной динамики (черные М-карлики) плотны вдоль вещественной оси на комплексной плоскости.

[1] Mikhail Lyubich The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos Notices of the AMS, 47, 1042-1052 (2000)


Содержание   «Переход к хаосу через перемежаемость   »"Переходный" хаос
изменено 5 янв 2014