Отображение окружности
Квазипериодическая динамика и
отображение окружности
В многомерных динамических системах с непрерывным временем
могут возникать колебания с несколькими
частотами. Их отношение зависит от параметров системы и если оно
иррационально, то возникает квазипериодическое движение.
При отношении частот близком к рациональному в нелинейных системах эти
компоненты взаимодействуют обнаруживая тенденцию к взаимной
синхронизации (mode locking) и возникновению периодических режимов.
Т.к. квазипериодическая орбита с частотами ω1 и
ω2 располагается на торе, то в сечении тора плоскостью
перпендикулярной его главной оси получается замкнутая кривая, точки
которой можно параметризовать угловой координатой θ.
Траектория, выходящая из точки θn снова
пересекает плоскость в точке θn+1.
В общем случае для этого отображения Пуанкаре
θn+1 =
θn +
Δ + f(θn ),
где Δ определяется отношением частот
ω1 и ω2. Если в
f(θ) ограничиться первой гармоникой и выбрать начало отсчета
θ так, чтобы f(0) = 0, то мы получаем
нелинейное отображение окружности
θn+1 = θn +
Δ + k sin θn (mod 2π).
Траектории отображения удобно характеризовать числом вращения
(winding number), которое определяется, как среднее приращение θ
за одно отображение, измеренное в долях полного угла
w = limn→∞ (θn -
θo)/2πn
при подсчете w угол θ не приводится к интервалу
(0,2π).
При k = 0 отображение сводится к повороту окружности на
постоянный угол Δ, число вращения w = Δ/2π и
ни при каких Δ ≠ 0 неподвижных точек нет.
Рациональным значениям Δ/2π = p/q с целыми
p и q соответствуют периодические орбиты с "частотой"
(p, q). Такая орбита оборачивается вокруг окружности p раз за
q итераций. Иррациональным Δ/2π соответствуют
всюду плотные на окружности квазипериодические траектории.
При k < 1 отображение монотоно и обратимо.
В этой области также возможны периодические и квазипериодические орбиты
с иррациональными числами вращения и нулевым ляпуновским показателем.
В области k > 1 отображение немонотонно, не является
взаимно-однозначным и у него могут появляються хаотические траектории
с положительным ляпуновским показателем.
Периодические орбиты отображения
Как следует из Fig.1 при k отличном от нуля у отображения могут
появиться притягивающая и отталкивающая неподвижные точки. Они определяются
уравнением
|
θo = θo + Δ +
k sin θo
откуда следует
-sin θo = Δ / k ≤ 1.
Т.о. в области k ≥ Δ существует устойчивая орбита 0/1
(соответствует первому пересечению синей кривой с диагональю на рисунке).
С ростом k она теряет устойчивость из-за бифуркации удвоения
периода. В точке бифуркации производная отображения λ =
1 + k cos θo = -1. Легко убедиться, что это происходит
на гиперболе k2 = Δ2 + 4.
|
Устойчивая орбита 1/1 (соответствует пересечению красной кривой с
диагональю) определяется уравнением
θo + 2π = θo +
Δ + k sin θo.
Она существует при условии k ≥ 2π - Δ.
Для области полуцелого резонанса 1/2 раскладывая вторую итерацию
отображения по малым k можно получить приближенно [1]
π - k2/4 < Δ <
π + k2/4,
что хорошо согласуется с приведенной ниже картинкой.
|
|
Бифуркационная (изопериодическая) диаграмма на
плоскости параметров (Δ/2π, k/2π).
Щелкните мышкой, чтобы определить период p в указанной точке.
Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить
(уменьшить) изображение в 2 раза.
Картинка 600x350 (больше в 1.5 раза)
с многопоточным приложением для многоядерного процессора.
|
Идущие вниз к k = 0 и θ/2π = p/q языки Арнольда
соответствуют резонансным периодическим орбитам (p, q).
Мера областей значений Δ соответствующих квазипериодической
динамике (они окрашены черным цветом) убывает до нуля при k → 1.
|
Язык 0/1заканчивается касательной бифуркацией на прямой
k = Δ. В области k < 1 при этом возникает
квазипериодическое движение. При k > 1 происходит переход к
хаосу через перемежаемость.
В области k > Δ и k > 2π - Δ
над пересечением двух прямых у отображения две неподвижные притягивающие
точки (см. Fig.2 налево). В зависимости от начальных условий итерации
выходят на тот или другой аттрактор (бистабильность).
В верхней половине диаграммы внутри области хаотической динамики
снова видны окна периодического движения (ласточки Милнора).
|
[1] Елютин П.В.
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА
Лекция 14
Содержание
«"Ласточки" и "креветки"
»Отображение пекаря
изменено 19 июня 06