Отображение окружности

Квазипериодическая динамика и отображение окружности

В многомерных динамических системах с непрерывным временем могут возникать колебания с несколькими частотами. Их отношение зависит от параметров системы и если оно иррационально, то возникает квазипериодическое движение. При отношении частот близком к рациональному в нелинейных системах эти компоненты взаимодействуют обнаруживая тенденцию к взаимной синхронизации (mode locking) и возникновению периодических режимов. Т.к. квазипериодическая орбита с частотами ω1 и ω2 располагается на торе, то в сечении тора плоскостью перпендикулярной его главной оси получается замкнутая кривая, точки которой можно параметризовать угловой координатой θ. Траектория, выходящая из точки θn снова пересекает плоскость в точке θn+1. В общем случае для этого отображения Пуанкаре
    θn+1 = θn + Δ + f(θn ),
где Δ определяется отношением частот ω1 и ω2. Если в f(θ) ограничиться первой гармоникой и выбрать начало отсчета θ так, чтобы f(0) = 0, то мы получаем нелинейное отображение окружности
    θn+1 = θn + Δ + k sin θn   (mod 2π).
Траектории отображения удобно характеризовать числом вращения (winding number), которое определяется, как среднее приращение θ за одно отображение, измеренное в долях полного угла
    w = limn→∞n - θo)/2πn
при подсчете w угол θ не приводится к интервалу (0,2π).

При k = 0 отображение сводится к повороту окружности на постоянный угол Δ, число вращения w = Δ/2π и ни при каких Δ ≠ 0 неподвижных точек нет. Рациональным значениям Δ/2π = p/q с целыми p и q соответствуют периодические орбиты с "частотой" (p, q). Такая орбита оборачивается вокруг окружности p раз за q итераций. Иррациональным Δ/2π соответствуют всюду плотные на окружности квазипериодические траектории.
При k < 1 отображение монотоно и обратимо. В этой области также возможны периодические и квазипериодические орбиты с иррациональными числами вращения и нулевым ляпуновским показателем. В области k > 1 отображение немонотонно, не является взаимно-однозначным и у него могут появляються хаотические траектории с положительным ляпуновским показателем.

Периодические орбиты отображения

Как следует из Fig.1 при k отличном от нуля у отображения могут появиться притягивающая и отталкивающая неподвижные точки. Они определяются уравнением
    θo = θo + Δ + k sin θo
откуда следует
    -sin θo = Δ / k ≤ 1.
Т.о. в области k ≥ Δ существует устойчивая орбита 0/1 (соответствует первому пересечению синей кривой с диагональю на рисунке). С ростом k она теряет устойчивость из-за бифуркации удвоения периода. В точке бифуркации производная отображения λ = 1 + k cos θo = -1. Легко убедиться, что это происходит на гиперболе k2 = Δ2 + 4.
Устойчивая орбита 1/1 (соответствует пересечению красной кривой с диагональю) определяется уравнением
    θo + 2π = θo + Δ + k sin θo.
Она существует при условии k ≥ 2π - Δ.
Для области полуцелого резонанса 1/2 раскладывая вторую итерацию отображения по малым k можно получить приближенно [1]
    π - k2/4 < Δ < π + k2/4,
что хорошо согласуется с приведенной ниже картинкой.
Бифуркационная (изопериодическая) диаграмма на плоскости параметров (Δ/2π, k/2π).

Щелкните мышкой, чтобы определить период p в указанной точке. Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить (уменьшить) изображение в 2 раза. Картинка 600x350 (больше в 1.5 раза) с многопоточным приложением для многоядерного процессора.

Идущие вниз к k = 0 и θ/2π = p/q языки Арнольда соответствуют резонансным периодическим орбитам (p, q). Мера областей значений Δ соответствующих квазипериодической динамике (они окрашены черным цветом) убывает до нуля при k → 1.
Язык 0/1заканчивается касательной бифуркацией на прямой k = Δ. В области k < 1 при этом возникает квазипериодическое движение. При k > 1 происходит переход к хаосу через перемежаемость. В области k > Δ и k > 2π - Δ над пересечением двух прямых у отображения две неподвижные притягивающие точки (см. Fig.2 налево). В зависимости от начальных условий итерации выходят на тот или другой аттрактор (бистабильность).

В верхней половине диаграммы внутри области хаотической динамики снова видны окна периодического движения (ласточки Милнора).

[1] Елютин П.В. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА Лекция 14


Содержание   «"Ласточки" и "креветки"   »Отображение пекаря
изменено 19 июня 06