Бифуркационная диаграмма отображения Эно


Диаграмма областей регулярной (с периодическим аттрактором) и хаотической динамики на плоскости параметров (a,b) показана внизу (налево для удобства построен единичный квадрат). Алгоритм ее построения объяснен на странице "Охотник за креветками". В серой области итерации расходятся к бесконечности. Вдоль линии b = 0 видна знакомая динамика квадратичного отображения (каскад удвоения периода и хаотическое море, заканчивающееся на кончике "носа").
Управление: Щелкните мышкой, чтобы определить период устойчивой орбиты p. Щелкните мышкой с <Alt>/<Ctrl> чтобы изменить масштаб рисунка.

Аттракторы

У отображения две неподвижные точки
    x1 = y1 = (1 - b)/2 + [(1 - b)2/4 - a]1/2,     x2 = y2 = (1 - b)/2 - [(1 - b)2/4 - a]1/2.
Они вещественны при a < ao = (1 - b)2/4 . Первая неподвижная точка всегда неустойчива (похоже, что она расположена на границе бассейна притяжения аттрактора). Вторая точка устойчива при a > a1 = -3(1 - b)2/4 в (красной) области помеченной 1 (на a1 лежит бифуркация удвоения периода). Мы используем (x2 , y2 ) как начальную точку при всех вычислениях.
Ниже слева опять приведена плоскость параметров, а направо белым цветом показан аттрактор на динамической плоскости (x,y) (соответствующие значения параметров (-1.4, 0.3) налево помечены крестом). Неподвижные точки x1,2 помечены символами "×" и "+". Черная область справа соответствует бассейну притяжения аттрактора. Цвета вне его показывают, как быстро соответствующие точки уходят к бесконечности. Вы можете проверить с помощью мышки, что аттрактор всегда один и он почти не зависит от начальной точки (за исключением переходных точек). Заметим, что при b = 0 из (1) следует x' = y' 2 + a, что является удивительно хорошим первым приближением для аттрактора Эно. Показатель Ляпунова L вычисляется по 1000 итерациям. При a = 1.4 и b = 0.3 полученные значения достаточно хорошо совпадают с известным значением Λ = 0.42. Для притягивающих циклов получаются отрицательные значения.

Управление: щелкните мышкой в левом окне, чтобы построить динамическую картину при соответствующих значениях параметров в правом окне. Щелкните мышкой направо, чтобы сменить начальную точку для белой орбиты В строке состояния браузера выводятся параметры a и b или xo, yo и L. Как обычно, вы можете изменять масштаб картинок.

Ласточки Милнора

Милнор мотивирует появление ласточек следующим образом. При малых |b| отображение Эно близко к квадратичному отображению, для которого притягивающая периодическая орбита обязательно должна содержать хотя бы одну точку близкую к x = 0. Эта точка будет оставаться близкой к x = 0 вдоль некоторой кривой на плоскости (a,b) (в тангенциальном направлении будет наблюдаться каскад бифуркаций квадратичного отображения). Если еще одна точка той же орбиты близка к x = 0 вдоль второй кривой, то на пересечении этих кривых динамика отображения будет напоминать композицию двух квадратичных отображений и мы получаем силуэт ласточки Милнора. Если рядом с пересечением проходит еще одна кривая для третьей точки орбиты близкой к x = 0, то тогда можно видеть стайку из близких ласточек с одним периодом (см. 3 ласточки Милнора).

[1] D.G. Sterling, H.R. Dullin, J.D. Meiss Homoclinic Bifurcations for the Henon Map arxiv.org/abs/chao-dyn/9904019
[2] H.R.Dullin, J.D.Meiss Generalized Henon Maps: the Cubic Difeomorphisms of the Plane
[3] Predrag Cvitanovic, Gemunu H. Gunaratne, Itamar Procaccia Topological and metric properties of Henon-type strange attractors Phys. Rev. A 38, 1503-1520 (1988) abstract
[4] Kai T. Hansenyx and Predrag Cvitanovic "Bifurcation structures in maps of Henon type" Nonlinearity 11 (1998) 1233-1261.
[5] Michael Benedicks, Marcelo Viana "Solution of the basin problem for Henon-like attractors" Invent. math. 143, 375-434 (2001)


Содержание   «Бифуркации отображения   »Упорядочивание областей регулярной динамики
изменено 9 июля 06