Бифуркационная диаграмма отображения Эно
Диаграмма областей регулярной (с периодическим аттрактором) и хаотической
динамики на плоскости параметров (a,b) показана внизу (налево для
удобства построен единичный квадрат). Алгоритм ее построения объяснен на
странице "Охотник за креветками".
В серой области итерации расходятся к бесконечности.
Вдоль линии b = 0 видна знакомая динамика квадратичного отображения
(каскад удвоения периода и хаотическое море, заканчивающееся на кончике
"носа").
Управление: Щелкните мышкой, чтобы определить период устойчивой
орбиты p. Щелкните мышкой с <Alt>/<Ctrl>
чтобы изменить масштаб рисунка.
Аттракторы
У отображения две неподвижные точки
x1 = y1 = (1 - b)/2 +
[(1 - b)2/4 - a]1/2,
x2 = y2 = (1 - b)/2 -
[(1 - b)2/4 - a]1/2.
Они вещественны при a < ao = (1 - b)2/4 .
Первая неподвижная точка всегда неустойчива (похоже, что она расположена
на границе бассейна притяжения аттрактора). Вторая точка устойчива при
a > a1 = -3(1 - b)2/4 в (красной) области
помеченной 1 (на a1 лежит бифуркация удвоения периода).
Мы используем (x2 , y2 ) как начальную точку
при всех вычислениях.
Ниже слева опять приведена плоскость параметров, а направо
белым цветом показан аттрактор на динамической плоскости (x,y)
(соответствующие значения параметров (-1.4, 0.3) налево помечены
крестом). Неподвижные точки x1,2 помечены символами "×"
и "+". Черная область справа соответствует бассейну притяжения аттрактора.
Цвета вне его показывают, как быстро соответствующие точки уходят к
бесконечности. Вы можете проверить с помощью мышки, что аттрактор всегда один
и он почти не зависит от начальной точки (за исключением переходных
точек). Заметим, что при b = 0 из (1) следует x' = y' 2 +
a, что является удивительно хорошим первым приближением для аттрактора Эно.
Показатель Ляпунова L вычисляется по 1000 итерациям.
При a = 1.4 и b = 0.3 полученные значения достаточно
хорошо совпадают с известным значением Λ = 0.42.
Для притягивающих циклов получаются отрицательные значения.
Управление: щелкните мышкой в левом окне, чтобы построить
динамическую картину при соответствующих значениях параметров в правом
окне. Щелкните мышкой направо, чтобы сменить начальную точку для белой орбиты
В строке состояния браузера выводятся параметры a и b или
xo, yo и L. Как обычно, вы можете
изменять масштаб картинок.
Ласточки Милнора
Милнор мотивирует появление ласточек следующим образом.
При малых |b| отображение Эно близко к квадратичному отображению,
для которого притягивающая периодическая орбита обязательно должна содержать
хотя бы одну точку близкую к x = 0. Эта точка будет оставаться
близкой к x = 0 вдоль некоторой кривой на плоскости (a,b)
(в тангенциальном направлении будет наблюдаться каскад бифуркаций
квадратичного отображения).
Если еще одна точка той же орбиты близка к x = 0 вдоль второй кривой,
то на пересечении этих кривых динамика отображения будет напоминать композицию
двух квадратичных отображений и мы получаем силуэт
ласточки Милнора.
Если рядом с пересечением проходит еще одна кривая для третьей точки орбиты
близкой к x = 0, то тогда можно видеть стайку из близких ласточек с
одним периодом (см. 3 ласточки Милнора).
[1] D.G. Sterling, H.R. Dullin, J.D. Meiss
Homoclinic Bifurcations
for the Henon Map arxiv.org/abs/chao-dyn/9904019
[2] H.R.Dullin, J.D.Meiss
Generalized Henon Maps: the Cubic Difeomorphisms of the Plane
[3] Predrag Cvitanovic, Gemunu H. Gunaratne, Itamar Procaccia
Topological and metric properties of Henon-type strange attractors
Phys. Rev. A 38, 1503-1520 (1988)
abstract
[4] Kai T. Hansenyx and Predrag Cvitanovic
"Bifurcation structures in maps of Henon type"
Nonlinearity 11 (1998) 1233-1261.
[5] Michael Benedicks, Marcelo Viana
"Solution of the basin problem for Henon-like attractors"
Invent. math. 143, 375-434 (2001)
Содержание
«Бифуркации отображения
»Упорядочивание областей регулярной
динамики
изменено 9 июля 06