Отображение Эно

Из необратимого квадратичного отображения можно построить обратимое двумерное отображение Эно (Henon map)
    x' = a + x2 + by,
    y' = x
.
К сожалению часто используются разные его параметризации. Например, можно получить слагаемое -x2 после замены (a,b,x,y) → (-a,b,-x,-y).
Обратное отображение
    x = y',
    y = (x' - y' 2 - a)/b
.
Отображение можно представить как последовательность трех простых операций:
однородного сжатия в b раз в направлении оси y (слева сжатие опущено, т.е. b = 1)
    x' = x,
    y' = by
,
деформации в этом же направлении
    x' = x,
    y' = a + x2 + y

и отражении относительно диагонали y = x
    x' = y,
    y' = x
.
Слева показан результат действия отображения Эно на квадратную область с вершинами (± 3.9, ± 3.9). Следующие итерации (нажмите кнопку "+") будут сближать концы подковы и перемешивать синию и красную области.

Щелкните мышкой в картинку, чтобы увеличить изображение в 2 раза

У отображения две неподвижные точки
    x1 = y1 = (1 - b)/2 + [(1 - b)2/4 - a]1/2   и   x2 = y2 = (1 - b)/2 - [(1 - b)2/4 - a]1/2.
При a = -8, b = 1 получаем x = y = ± 2.83. Эти две точки помечены белыми крестами (в синей и желтой областях, где цвета квадрата и подковы совпадают).

При малом изменении (δx, δy) положения начальной точки (x, y) соответствующее отклонение в конечном состоянии
    (
δx'
δy'
)   =   (
∂ x'/∂ x   ∂ x'/∂ y
∂ y'/∂ x ∂ y'/∂ y
)(
δx
δy
)   =   (
2x   b
1 0
)(
δx
δy
)   =   J (
δx
δy
).
Точки из бесконечно малой окружности с центром в (x, y) отображаются в эллипс с центром в (x', y'). Для вещественных собственных значений матрицы
    λ1,2 = x +- (x2 + b)1/2
деформация эллипса определяется числами λ1,2, а его оси совпадают с собственными векторами матрицы J. Так при a = 1.4 и b = 0.3 неподвижная точка x2 = y2 = -0.884 неустойчива с λ1 = 0.156 и λ2 = -1.92 . При a = -8, b = 1 соответственно x = y = ± 2.83 и λ1 = ± 5.83 и 2 = ± 0.17 . Налево показан результат действия прямого и обратного отображений на малые окрестности (радиуса R) этих двух неподвижных точек.
Якобиан отображения Эно
    Det(J) =   |
2x   b
1 0
|   =   λ1 λ2   =   -b.
Оно сжимающее для |b| < 1. Все ограниченные притягивающие орбиты лежат в этом интервале и аттрактор обладает нулевой площадью. При итерациях хаотического отображения эллипсы становятся все более узкими и вытянутыми. Для его n-ой итерации
    (
δxn
δyn
)   =   (
2xn-1   b
1 0
)(
δxn-1
δyn-1
)   =   [ i=0,n-1 (
2xi   b
1 0
)](
δxo
δyo
).
Т.к. одно собственное значение у матрицы произведения растет, а другое становится очень маленьким, то численно сосчитать их одновременно достаточно трудно. Однако большое собственное значение можно с хорошей точностью заменить на шпур матрицы Sp(J) = λ1 + λ2 ≈ λmax. Самый большой показатель Ляпунова определяется далее как
    Lmax = 1/n ln|λmax| ≈ 1/n ln|Sp(J)|.


Содержание   «Подкова Смейла и странные репеллеры   »Гомоклинические орбиты и подкова Смейла
изменено 25 июня 07