Симметрия множества Жулиа

Множество Жулиа J(c) состоит из всех точек zj комплексной плоскости, которые не сходятся к некоторому аттрактору (он может находиться и в бесконечности) при итерациях fc(z). Очевидно, что итерации точки y = fc(zj) также не сходятся ни к какому атрактору, поэтому J(c) инвариантно относительно fc .
Т.к. fc(z) четная функция, то J(c) симметрично относительно начала координат.

Если представить   z = r e, то   z 2 = r 2e 2iφ. Т.о. отображение fc дважды "обертывает" комплексную плоскость z на себя (с квадратичной деформацией r и смещением на c).
Налево показано самое простое множество Жулиа при c = 0 + 0i .
При | zo | < 1,   zn сходится к неподвижной точке z = 0,
при | zo | > 1,   zn уходит к бесконечности и
при | zo | = 1,   zn вращается, оставаясь на окружности | z | = 1 .
Поэтому эта окружность и есть множество Жулиа J(0) .

Очевидно, что эта единичная окружность инвариантна относительно преобразования fo = z 2.

Самоподобие множества Жулиа

Пусть f отображает точку z1 в z2 = f(z1) . При малых ε гладкое отображение можно разложить в ряд Тейлора
    f(z1+ε) = f(z1) + f '(z1) ε + O(ε 2) ~ z2 + f '(z1) ε.
Т.е. малая окрестность точки z1 линейно (посредством поворота и растяжения) отображается в окрестность точки z2 , поэтому множество Жулиа в этих областях самоподобно. Т.к. прообразы любой точки множества Жулиа f o(-n)(z) образуют всюду плотное множество в J, то J самоподобно в каждой точке.

Приложение внизу позволяет проследить за динамикой квадратичного отображения. Внутренность белого квадрата отображается в область с инвертированным цветом. Видно, что изображения в обеих областях подобны (деформация кадрата обусловлена слагаемыми 2 и выше в разложении Тейлора).

Управление: Потащите мышкой белый квадрат, чтобы переместить его. Здесь Z - координата центра белого квадрата, R - его размер, dz - размер всей видимой области. Как обычно, нажмите <Enter>, чтобы ввести новые значения из полей ввода. Например, можно ввести Cr=Ci=0, чтобы еще раз проследить за динамикой на J(0).

Здесь вы можете убедиться в самоподобии "дендрита" и "карликовых" множеств Жулиа (или просто "карлика", например, в начале координат)

Еще несколько примеров


Нетрудно представить, как f-1 отображает множество J(-1) из правой полуплоскости Re(z) > 0 (или, если вам удобнее, верхней полуплоскости Im(z) > 0) на себя.

После возведения в квадрат J(-1) сдвигается вправо (нижний рисунок) и после прибавления c = -1 множество Жулиа переходит в исходное положение. Заметим, что две точки a переходят в точку a'.

Более того, при c = -1.77289 самое большое "карликовое" J(-1) расположенное в z = 0 (рисунок ниже) аналогично отображается (дважды) в маленький карлик (в белом квадрате налево) около z = -1.77289.

Легко видеть, что "цветная капуста" ("cauliflower") J(0.35) обладает такой же "квадратичной" симметрией.

Два рисунка ниже иллюстрируют квадратичное преобразование "кролика Дуади". Линяя R-R разрезает кролика на две симметричные половины и каждая из них отображается fc в целое J-множество. Две точки R переходят в точку R' ("едиичный" квадрат показан для удобства вместо единичной окружности).


Содержание   «Множество Мандельброта   »Внешние лучи
изменено 27 апреля 06