Если представить z = r e iφ, то z 2 = r 2e 2iφ. Т.о. отображение fc дважды "обертывает" комплексную плоскость z на себя (с квадратичной деформацией r и смещением на c).
|
| Налево показано самое простое множество Жулиа при
c = 0 + 0i .
При | zo | < 1, zn сходится к неподвижной точке z = 0, при | zo | > 1, zn уходит к бесконечности и при | zo | = 1, zn вращается, оставаясь на окружности | z | = 1 . Поэтому эта окружность и есть множество Жулиа J(0) . Очевидно, что эта единичная окружность инвариантна относительно преобразования fo = z 2. |
Приложение внизу позволяет проследить за динамикой квадратичного отображения.
Внутренность белого квадрата отображается в область с инвертированным цветом.
Видно, что изображения в обеих областях подобны (деформация кадрата обусловлена
слагаемыми ~ε 2 и выше в разложении Тейлора).
Управление: Потащите мышкой белый квадрат, чтобы переместить его.
Здесь Z - координата центра
белого квадрата, R - его размер, dz - размер всей видимой
области. Как обычно, нажмите <Enter>, чтобы ввести новые значения
из полей ввода. Например, можно ввести Cr=Ci=0, чтобы еще раз проследить
за динамикой на J(0).
Здесь вы можете убедиться в самоподобии "дендрита" и "карликовых"
множеств Жулиа (или просто "карлика", например, в начале координат)
|
|
Нетрудно представить, как f-1 отображает множество
J(-1) из правой полуплоскости Re(z) > 0 (или, если вам
удобнее, верхней полуплоскости Im(z) > 0) на себя.
После возведения в квадрат J(-1) сдвигается вправо (нижний рисунок) и после прибавления c = -1 множество Жулиа переходит в исходное положение. Заметим, что две точки a переходят в точку a'. Более того, при c = -1.77289 самое большое "карликовое" J(-1) расположенное в z = 0 (рисунок ниже) аналогично отображается (дважды) в маленький карлик (в белом квадрате налево) около z = -1.77289. |
|
Легко видеть, что "цветная капуста" ("cauliflower") J(0.35) обладает
такой же "квадратичной" симметрией.
Два рисунка ниже иллюстрируют квадратичное преобразование "кролика Дуади". Линяя R-R разрезает кролика на две симметричные половины и каждая из них отображается fc в целое J-множество. Две точки R переходят в точку R' ("едиичный" квадрат показан для удобства вместо единичной окружности). | |