Итерации квадратичного отображения

Итерационная диаграмма

За динамикой одномерного вещественного отображения удобно следить по итерационной диаграмме, приведенной внизу. Синяя кривая это N-ая итерация отображение f oN(x) = f(f(...f(x))) (при N = 1 она совпадает с f(x)). Зеленая линяя y = x. Координаты изменяются в пределах -2 ≤ x,y ≤ 2. Т.к. f(0) = C, то при N = 1 значение C совпадает с y(0). Зависимость xn от n строится в правом окне (итерации начинаются с xo = 0).

Управление: потащите мышкой синюю кривую, чтобы изменить значение C. Держите <Shift>, чтобы изменить начальное значение xo. Нажмите <Enter> чтобы ввести новые значения параметров из текстовых полей.
Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию из начальной точки xo = 0 к синей линии y = f(x) = x2 + c, где yo = f(xo). Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию к зеленой диагонали y = x, где x1 = yo = f(xo). Далее снова строим вертикальную линию к синей кривой, чтобы получить y1 = f(x1) и т.д.
Точки fc: xo → x1 → x2 → ... при некотором значении c образуют орбиту точки xo (она строится в правом окне).

Критические точки

Для аналитического отображения точки в которых производная f '(xc ) = 0 называются критическими точками. Известно, что каждый притягивающий предельный цикл обязательно притягивает к себе критическую точку. Очевидно, что у квадратичного отображения существует единственная критическая точка xc = 0. Поэтому у него может существовать только один устойчивый цикл и начинать его поиски следует из точки xc = 0.

Неподвижные точки отображения

При C = -1/2 итерации быстро сходятся к притягивающей неподвижной точке   x = f(x) отображения. Неподвижные точки совпадают с пересечением y = x и y = f(x) (т.е. зеленой и синей кривых). У квадратичного отображения всегда есть две неподвижные точки, определяемые квадратным уравнением
    f(x) - x = x2 + c - x = 0,     x1,2 = 1/2 -+ (1/4 - c)1/2.
Первая производная отображения в неподвижной точке
    m = f '(x) = 2x
называется мультипликаторм (или собственным значением) точки. Для малого δx
    f(x + δx) = f(x) + mδx + O(δx2) ≈ x + mδx.
Т.о. неподвижная точка устойчивая (притягивающая), сверхустойчивая, неустойчивая или нейтральная в соответствии со значением мультипликатора |m| < 1, |m| = 0, |m| > 1 или |m| = 1.
Вторая неподвижная точка (на рисунке справа) - всегда отталкивающая. При |x| > x2 итерации расходятся к бесконечности. При |x| < x2 они сходятся к притягивающей неподвижной точке x1. Точки этого интервала образуют ее бассейн приятяжения.
Слева показаны: фрактальный бассейн притяжения аттрактора z1 на комплексной плоскости (область голубого цвета), репеллер z2 и две комплексные точки неустойчивого цикла z3 , z4 .

Устойчивые циклы

При C = -1 у отображения есть притягивающий цикл с периодом два (верхний рисунок слева). У второй итерации отображения f o2 при этом появляются две притягивающие неподвижные точки z3 и z4 . Слева вы видите бассейн притяжения цикла. Красные области притягиваются отображением f o2 к z3 , а голубые области к z4 . z1 стала неустойчивой неподвижной точкой.

Показатели Ляпунова

Для отображения xn+1 = f(xn ) малому отклонению δxo координаты точки xo соответствует малое изменение координаты x1
    δx1 = f '(xo) δxo.
Для n-ой итерации отображения
    δxn = δxoi=0,n-1 f '(xi ).
Показатель Ляпунова для отображения выражается через это изменение по формуле
    Λ = limn → ∞ Ln ,
    Ln = 1/n log|δxn /δxo| = 1/n ∑i=0,n-1 ln |f '(xi )|
.
У хаотической траектории |δxn| растет с увеличением n, поэтому для нее Λ > 0.
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения при c = -2 с положительным показателем Ляпунова L, вычисленным по данной траектории.

Для притягивающего цикла внизу показатель L отрицательный.


Содержание   «Квадратичное отображение   »Бифуркационная диаграмма
изменено 2 июля 07