Квадратичное отображение
Простым отображением, обладающим нетривиальной и богатой
динамикой, является квадратичное отображение
xn+1 = fc(xn ) =
xn2 + c.
При изменения параметра C устойчивые
периодические орбиты отображения испытывают подобные каскады
бифуркаций (что проявляется, например, в самоподобии множества
Мандельброта). Более того, и другие гладкие отображения
могут испытывать подобные каскады бифуркаций.
Точки в которых производная f '(xc ) = 0
называются критическими точками. Для аналитического отображения
известно, что каждый устойчивый цикл обязательно притягивает к себе
критическую точку. Т.к. у квадратичного отображения есть единственная
критическая точка xc = 0, то у него может существовать
только один притягивающий цикл и начинать его поиски следует из точки
xc = 0.
Итерационная диаграмма
За динамикой одномерного вещественного отображения удобно следить по
итерационной диаграмме, приведенной внизу.
Синяя кривая это N-ая итерация отображение
f oN(x) = f(f(...f(x))).
Зеленая линяя y = x. Координаты изменяются в пределах
-2 ≤ x,y ≤ 2. Т.к. f(0) = C, то при N = 1
значение C совпадает с y(0).
Зависимость xn от n строится
в правом окне (итерации начинаются с xo).
Управление: потащите синюю кривую, чтобы
изменить значения c и xo . Нажмите <Enter>
чтобы ввести новые значения параметров из текстовых полей.
Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию
из начальной точки xo = 0 к синей линии y = f(x) =
x2 + c, где yo = f(xo).
Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию
к зеленой диагонали y = x, где x1 = yo =
f(xo). Далее снова строим вертикальную линию к синей
кривой, чтобы получить y1 = f(x1) и т.д.
Точки fc: xo → x1 →
x2 → ... при некотором значении c образуют
орбиту точки xo .
Неподвижные точки отображения
Неподвижные точке x• = f(x• )
отображения совпадают с пересечением y = x и y = f(x)
(т.е. зеленой и синей кривых). У квадратичного отображения
есть две неподвижные точки (возможно комплексные),
определяемые квадратным уравнением
f(x• ) - x• =
x•2 + c - x• = 0,
x1,2 = 1/2 ∓ (1/4 - c)½.
Первая производная отображения в неподвижной точке
m = f '(x• ) = 2x•
называется мультипликаторм (или собственным значением)
точки. Для малого δx
f(x• + δx) =
f(x• ) + mδx +
O(δx2) ≈ x• + mδx.
Т.о. неподвижная точка устойчивая (притягивающая),
сверхустойчивая, неустойчивая или нейтральная в
соответствии со значением мультипликатора |m| < 1,
|m| = 0, |m| > 1 или |m| = 1.
Вторая неподвижная точка (на рисунке справа) - всегда отталкивающая. При
|x| > x2 итерации расходятся к бесконечности.
При |x| < x2 они сходятся к притягивающей неподвижной
точке x1. Точки этого интервала образуют ее
бассейн приятяжения.
Устойчивые циклы
При C = -1 у отображения есть притягивающий цикл с периодом два
(верхний рисунок слева). У второй итерации отображения f o2
при этом появляются две притягивающие неподвижные точки.
Показатели Ляпунова
Для отображения xn+1 = f(xn )
малому отклонению δxo координаты точки
xo соответствует малое изменение координаты
x1
δx1 =
f '(xo ) δxo .
Для n-ой итерации отображения
δxn =
δxo∏i=0,n-1 f '(xi ).
Показатель Ляпунова для отображения выражается через это изменение по
формуле
Λ = limn → ∞ Ln ,
Ln = 1/n
log|δxn /δxo| =
1/n ∑i=0,n-1 ln |f '(xi )|.
У хаотической траектории |δxn| растет с
увеличением n, поэтому для нее Λ > 0.
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения
при c = -2 с положительным показателем Ляпунова L,
вычисленным по данной траектории.
Для притягивающего цикла внизу показатель L отрицательный.
Содержание
«Канторов репеллер
»Бифуркационная диаграмма
изменено 2 янв 2014