Квадратичное отображение

Простым отображением, обладающим нетривиальной и богатой динамикой, является квадратичное отображение
    xn+1 = fc(xn ) = xn2 + c.
При изменения параметра C устойчивые периодические орбиты отображения испытывают подобные каскады бифуркаций (что проявляется, например, в самоподобии множества Мандельброта). Более того, и другие гладкие отображения могут испытывать подобные каскады бифуркаций.
Точки в которых производная f '(xc ) = 0 называются критическими точками. Для аналитического отображения известно, что каждый устойчивый цикл обязательно притягивает к себе критическую точку. Т.к. у квадратичного отображения есть единственная критическая точка xc = 0, то у него может существовать только один притягивающий цикл и начинать его поиски следует из точки xc = 0.

Итерационная диаграмма

За динамикой одномерного вещественного отображения удобно следить по итерационной диаграмме, приведенной внизу. Синяя кривая это N-ая итерация отображение f oN(x) = f(f(...f(x))). Зеленая линяя y = x. Координаты изменяются в пределах -2 ≤ x,y ≤ 2. Т.к. f(0) = C, то при N = 1 значение C совпадает с y(0). Зависимость xn от n строится в правом окне (итерации начинаются с xo).
Управление: потащите синюю кривую, чтобы изменить значения c и xo . Нажмите <Enter> чтобы ввести новые значения параметров из текстовых полей.
Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию из начальной точки xo = 0 к синей линии y = f(x) = x2 + c, где yo = f(xo). Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию к зеленой диагонали y = x, где x1 = yo = f(xo). Далее снова строим вертикальную линию к синей кривой, чтобы получить y1 = f(x1) и т.д.

Точки fc: xo → x1 → x2 → ... при некотором значении c образуют орбиту точки xo .

Неподвижные точки отображения

Неподвижные точке   x = f(x) отображения совпадают с пересечением y = x и y = f(x) (т.е. зеленой и синей кривых). У квадратичного отображения есть две неподвижные точки (возможно комплексные), определяемые квадратным уравнением
    f(x) - x = x2 + c - x = 0,     x1,2 = 1/2 ∓ (1/4 - c)½.
Первая производная отображения в неподвижной точке
    m = f '(x) = 2x
называется мультипликаторм (или собственным значением) точки. Для малого δx
    f(x + δx) = f(x ) + mδx + O(δx2) ≈ x + mδx.
Т.о. неподвижная точка устойчивая (притягивающая), сверхустойчивая, неустойчивая или нейтральная в соответствии со значением мультипликатора |m| < 1, |m| = 0, |m| > 1 или |m| = 1.

Вторая неподвижная точка (на рисунке справа) - всегда отталкивающая. При |x| > x2 итерации расходятся к бесконечности. При |x| < x2 они сходятся к притягивающей неподвижной точке x1. Точки этого интервала образуют ее бассейн приятяжения.

Устойчивые циклы

При C = -1 у отображения есть притягивающий цикл с периодом два (верхний рисунок слева). У второй итерации отображения f o2 при этом появляются две притягивающие неподвижные точки.

Показатели Ляпунова

Для отображения xn+1 = f(xn ) малому отклонению δxo координаты точки xo соответствует малое изменение координаты x1
    δx1 = f '(xo ) δxo .
Для n-ой итерации отображения
    δxn = δxoi=0,n-1 f '(xi ).
Показатель Ляпунова для отображения выражается через это изменение по формуле
    Λ = limn → ∞ Ln ,
    Ln = 1/n log|δxn /δxo| = 1/n ∑i=0,n-1 ln |f '(xi )|
.
У хаотической траектории |δxn| растет с увеличением n, поэтому для нее Λ > 0.
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения при c = -2 с положительным показателем Ляпунова L, вычисленным по данной траектории.

Для притягивающего цикла внизу показатель L отрицательный.

Содержание   «Канторов репеллер   »Бифуркационная диаграмма
изменено 2 янв 2014