|
Странный канторов репеллерНа рисунке показано, как классическое множество Кантора появляется в динамике отображения тент fc(x) при c = 3. Легко убедиться, что при x > 1 итерации уходят в -∞. Как видно из рисунка, на первой итерации отображения выпадает открытый интервал (1/3,2/3), а два интервала [0,1/3] и [2/3,1] линейно отображаются в [0,1]. Повторяя этот процесс до бесконечности мы будем каждый раз вырезать центральную 1/3 из оставшихся на предыдущем шаге интервалов (несколько первых шагов показаны на рисунке). В результате мы получим фрактальное множество Кантора. |
Очевидно, что в троичной системе счисления после первой итерации выпадают все числа вида 0.1... Поэтому множество Кантора образуется троичными числами, без цифры 1. Заменяя цифры 2 → 1 видим, что это континуум. Как и ранее, рациональным числам соответствуют неустойчивые периодические орбиты. Для бесконечной случайной последовательности цифр 0 и 2 получаем хаотическую орбиту.
| Легко проследить за динамикой отображения, показанного слева. В троичной системе счисления умножение на 3 соответствует сдвигу числа на один разряд влево. Далее 0 и 2 просто отбрасываем. Если старший разряд 1, то число попадает в интервал (1/3, 2/3) и орбита уходит из [0, 1]. Поэтому траектория, начинающаяся с троичного числа, содержащего цифру 1 только в n знаке, в течении n-1 итераций будет случайно блуждать по интервалу [0, 1], далее она попадет в центральный интервал и уходит на бесконечность, демонстрируя "переходный" хаос. |