Странный канторов репеллер

На рисунке показано, как классическое множество Кантора появляется в динамике отображения тент fc(x) при c = 3. Легко убедиться, что при x > 1 итерации уходят в -∞. Как видно из рисунка, на первой итерации отображения выпадает открытый интервал (1/3,2/3), а два интервала [0,1/3] и [2/3,1] линейно отображаются в [0,1]. Повторяя этот процесс до бесконечности мы будем каждый раз вырезать центральную 1/3 из оставшихся на предыдущем шаге интервалов (несколько первых шагов показаны на рисунке). В результате мы получим фрактальное множество Кантора.
Суммарная длина вырезанных интервалов
    1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1/3 ∑n=0,∞ (2/3)n = 1/3 [1 / (1-2/3)] = 1,
т.о. мера Лебега (площадь) классического множества Кантора равна нулю. Его фрактальная размерность log2 / log3. Множество Кантора с нулевой мерой появляется в отображении тент при любом c > 2.

Очевидно, что в троичной системе счисления после первой итерации выпадают все числа вида 0.1... Поэтому множество Кантора образуется троичными числами, без цифры 1. Заменяя цифры 2 → 1 видим, что это континуум. Как и ранее, рациональным числам соответствуют неустойчивые периодические орбиты. Для бесконечной случайной последовательности цифр 0 и 2 получаем хаотическую орбиту.
Легко проследить за динамикой отображения, показанного слева. В троичной системе счисления умножение на 3 соответствует сдвигу числа на один разряд влево. Далее 0 и 2 просто отбрасываем. Если старший разряд 1, то число попадает в интервал (1/3, 2/3) и орбита уходит из [0, 1]. Поэтому траектория, начинающаяся с троичного числа, содержащего цифру 1 только в n знаке, в течении n-1 итераций будет случайно блуждать по интервалу [0, 1], далее она попадет в центральный интервал и уходит на бесконечность, демонстрируя "переходный" хаос.
Полученный странный (фрактальный) репеллер нигде не плотен, т.к. содержит "дыры" (из которых траектории уходят на бесконечность) в любом сколь угодно малом интервале.


Содержание   «Динамика отображения тент   »Квадратичное отображение
изменено 1 июля 07