Периодические орбиты и внешние лучи

Важное значение в исследованиях Дуади и Хаббарда множества Мандельброта иммет теорема о том, что каждая параболическая точка c ≠ 1/4 в M является точкой касания для двух внешних лучей с углами периодическими при удвоении. По определению точка называется параболической (рациональной условно устойчивой) если у соответствующего отображения есть периодическая орбита с мультипликатором равным корню из единицы. Эта точка является точкой крепления листа. Т.о. внешние углы определяют упорядочивание листьев M.

Теорема о секторе критического значения S1 [1]
Пусть O - орбита с периодом p ≥ 1. Если v ≥ 2 динамических лучей садятся на каждую точку O, тогда существует только единственный сектор S1 с основанием в некоторой точке z1 который содержит критическое значение c = f(0) и замыкание которого не содержит других точек орбиты. У сетора критического значения минимальная угловая ширина.

Портрет периодической орбиты

Пусть O = {z1,...,zp} - периодическая орбита. Пусть при некотором рациональном t динамический луч Rt касается некоторой точки O. Тогда для каждого zi есть набор Ai состоящий изо всех углов динамических внешних лучей касающихся этой точки. Набор {A1,...,Ap} называется портретом орбиты P = P(O). Число элементов в каждом Ai (т.е. число J-лучей, касающихся каждой точки орбиты) называется валентностью v.
portrait Например, выше вы видите орбиту с периодом 3 {p1, p2, p3} с портретом
  PA = {{10/63, 17/63}, {20/63, 34/63}, {5/63, 40/63}}
и неподвижную точку z2 с портретом
  PB = {{1/7, 2/7, 4/7}} .
Каждый портрет удобно представить схематической диаграммой, как показано на Fig.1

"След" орбиты

Пусть 0 < t- < t+ < 1 углы динамических лучей RJ, ограничивающих сектор критического значения S1.
Теорема о следе Wp . Два соответствующих параметрических луча RM касаются единственной точки ρp на плоскости параметров. Эти лучи вырезают открытое подмножество Wp. Квадратичное отображение fc имеет неустойчивую орбиту с портретом P только если C лежит в Wp и обладает параболической орбитой с портретом P если C = ρp. Wp называется следом P.
Налево вы видите следы WA и WB ограниченные лучами 10/63, 17/63 и 1/7, 2/7 соответственно.

При пересечении границы следа Wp через его корневую точку, либо одна орбита с валентностью 1 вырождается и образует орбиту с меньшим периодом с портретом P, либо две орбиты с валентностью 1 сливаются и образуют орбиту с портретом P.

Например внутри следа WB находится неустойчивая неподвижная точка z2 с портретом PB и v = 3. Ниже вы видите, что неустойчивая орбита с периодом 3 и валентностью 1 вырождается в орбиту с периодом 1 (т.е. неподвижную точку z2) с портретом PB когда C пересекает корневую точку листа 1/3.

Если мы попадаем в Wp через параметрический луч RM картина оказывается подобной за исключением того, что точка касания динамического луча RJ испытывает скачок. Если t+ и t- принадлежат одному циклу при удвоении, тогда точки касания обоих лучей испытывают скачок.
Налево вверху внутри WB три луча касаются z2 (к сожалению канторовское множество Жулиа на рисунке не видно). Когда C уходит из следа, лучи испытывают скачок и касаются множества Жулиа в трех различных точках (рисуноу направо).

Нахождение внешних углов

Напомним, что для отображения зуб пилы можно найти двоичное разложение t следя за орбитой t при удвоении. Мы присваиваем разложению 0 если t попадает в верхнюю полуокружность 0 ≤ t < 1/2 и 1 если t попадает в нужнюю полуокружность 1/2 ≤ t < 1. Благодаря изоморфизму φ(z) динамика на связном множестве Жулиа при отображении fc эквивалентна динамике отображения удвоения угла на единичной окружности. Поэтому мы можем определить разложение для внешнего J-луча подобным образом.
Заметим, что J-луч с углом 0 всегда касается правой неустойчивой неподвижной точки z1, а J-луч с углом 1/2 касается ее симметричного прообраза -z1.

Например, для орбиты с периодом 3 {p1, p2, p3} (налево) три периодические последовательности и соответствующие внешние лучи 0.(001) = 1/7, 0.(010) = 2/7 и 0.(100) = 4/7.

Аналогично вы можете убедиться, что для орбиты с периодом 6 ниже бинарное разложение и соответствущий угол 0.(001010) = 10/63. Орбита начинается в центре белого квадрата. Этот квадрат отображается в область с инвертированным цветом. Нажмите на левую кнопку и потащите мышкой белый квадрат вдоль орбиты, чтобы найти это бинарное разложение.

[1] John W. Milnor Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set: An Expository Account arXiv:math/9905169
[2] Wolf Jung Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set Ph.D. thesis of 2002
[3] Dierk Schleicher Rational parameter rays of the Mandelbrot set arXiv:math.DS/9711213


Содержание   «Внешние лучи   »Внешние лучи для первичных листьев
изменено 14 апр 08