Теорема о секторе критического значения S1 [1]
Пусть O - орбита с периодом p ≥ 1. Если v ≥ 2
динамических лучей садятся на каждую точку O, тогда существует
только единственный сектор S1 с основанием в некоторой
точке z1 который содержит критическое значение
c = f(0) и замыкание которого не содержит других точек орбиты.
У сетора критического значения минимальная угловая ширина.
|
Например, выше вы видите орбиту с периодом 3 {p1,
p2, p3} с портретом
PA = {{10/63, 17/63}, {20/63, 34/63}, {5/63, 40/63}} и неподвижную точку z2 с портретом PB = {{1/7, 2/7, 4/7}} . Каждый портрет удобно представить схематической диаграммой, как показано на Fig.1 |
|
Налево вы видите следы WA и WB
ограниченные лучами 10/63, 17/63 и 1/7, 2/7 соответственно.
При пересечении границы следа Wp через его корневую точку, либо одна орбита с валентностью 1 вырождается и образует орбиту с меньшим периодом с портретом P, либо две орбиты с валентностью 1 сливаются и образуют орбиту с портретом P. Например внутри следа WB находится неустойчивая неподвижная точка z2 с портретом PB и v = 3. Ниже вы видите, что неустойчивая орбита с периодом 3 и валентностью 1 вырождается в орбиту с периодом 1 (т.е. неподвижную точку z2) с портретом PB когда C пересекает корневую точку листа 1/3. |
|
Заметим, что J-луч с углом 0 всегда касается правой неустойчивой
неподвижной точки z1, а J-луч с углом 1/2 касается
ее симметричного прообраза -z1.
Например, для орбиты с периодом 3 {p1, p2, p3} (налево) три периодические последовательности и соответствующие внешние лучи 0.(001) = 1/7, 0.(010) = 2/7 и 0.(100) = 4/7. Аналогично вы можете убедиться, что для орбиты с периодом 6 ниже бинарное разложение и соответствущий угол 0.(001010) = 10/63. Орбита начинается в центре белого квадрата. Этот квадрат отображается в область с инвертированным цветом. Нажмите на левую кнопку и потащите мышкой белый квадрат вдоль орбиты, чтобы найти это бинарное разложение. |
[1] John W. Milnor
Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set:
An Expository Account
arXiv:math/9905169
[2] Wolf Jung
Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set
Ph.D. thesis of 2002
[3] Dierk Schleicher
Rational parameter rays of the Mandelbrot set
arXiv:math.DS/9711213