Детерминированный хаос

Сложная динамика "простых" нелинейных систем

Мы привыкли, к тому, что простые уравнения имеют простые решения (например: осциллятор, кеплеровские орбиты планет, предельные циклы генератора Ван-дер-Поля). Однако, простые нелинейные системы могут обладать чрезвычайно запутанными траекториями, которые выглядят совершенно хаотическими. Ниже вы видите орбиты полученные итерациями стандартного отображения. Эллипсы соответствуют регулярному (интегрируемому) движению, а "серые" области заполнены нерегулярными хаотическими орбитами.

Управление: Щелкните мышкой в изображение, чтобы получить новую траекторию, выделенную для наглядности красным цветом (sorry if your browser doesn't support Java).

Существует несколько причин для изучения нелинейных отображений. Они обладают невероятно сложной динамикой и ПК достаточно быстро генерирует поразительные фрактальные картинки (на примере задачи трех тел мы убедимся, что решать системы дифференциальных уравнений намного утомительнее). Динамику непрерывных потоков также можно исследовать с помощью дискретых отображений Пуанкаре. Удивительно, что очень простые отображения оказываются хорошей качественной моделью для систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных.

Неустойчивые траектории и детерминированный хаос

Траектория динамической системы, заданной дифференциальным уравнением dx/dt = F(x) или дискретным отображением xn+1 = F(xn ), однозначно определяется начальным состоянием xo. Хаос ассоциируется с непредсказуемым случайным поведением и поэтому ("по определению") орбиты детерминированной системы не могут быть хаотическими. Однако нелинейные системы часто обладают неустойчивыми траекториями. В этом случае расстояние δxk между точками близкимих траекторий экспоненциально увеличивается со временем и неустойчивость можно обнаружить по положительному Ляпуновскому показателю
    Λ = limn→∞ Ln ,     Ln = 1/n ln|δxn /δxo|.
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения с положительным показателем Ляпунова L, вычисленным по отрезку такой траектории.

Полагают, что начальное состояние реальной физической системы нельзя определить с абсолютной точностью. Можно задать только распределение вероятности нахождения системы в некоторой (малой) область фазового пространства. В течении некоторого времени траектории из начальной области движутся вместе и этот "пакет" действительно ведет себя как частица. Однако неустойчивость приводит к растяжению (и деформации) начальной области и расползанию её по фазовому пространству (см. изображение ниже). Этот процесс напоминает расплывание капли чернил в жидкости при перемешивании. Если движение ограничено в пространстве, то через некоторое время пакет перемешивается по этой области. Т.к. конечное состояние опять нельзя определить абсолютно точно, то следует провести усреднение (огрубление) распределения на малых масштабах. После этого мы сможем предсказать только вероятность нахождения системы в той или иной точке (точнее малой области) фазового пространства.
Расплывание синего квадрата при итерациях стандартного отображения. N - число итераций. Нажмите на кнопку "-" чтобы проследить, как происходит перемешивание.
Так для рассмотренного квадратичного отображения плотность распределения точек орбиты одинакова почти для всех начальных xo. Поэтому на болших временах естественно перейти к статистическому описанию детерминированной динамической системы и заменить средние по траектории на среднее по инвариантному распределению.

Т.о. неустойчивость траекторий ведет к вероятностному описанию детерминированных систем. Это явление и называют динамическим хаосом.

Символическая динамика, подкова Смейла и гомоклинические структуры

Часто фазовое пространство динамической системы удается разбить на области таким образом, что любая ее траектория однозначно определяется последовательностью прохождения этих областей (символической последовательностью). Символическая динамика строится, например, если систему удается свести к отображению подкова Смейла. С помощью символической динамики удается показать существование у системы неустойчивых периодических траекторий с любым периодом и континуума непериодических хаотических траекторий. Отображение подковы можно построить если имеется пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий седла в гомоклинической точке.

Странные репеллеры и "переходный" хаос

Такое сложно устроенное множество может оказаться отталкивающим (странным канторовым репеллером). Близкая к нему траектория в течении длительного времени хаотически блуждает в его окрестности прежде чем выйти на регулярный аттрактор. Это явление называется переходным хаосом.
Для квадратичного отображения области значений параметра C, соответствующие регулярной динамики плотны в интервале [-2, 1/4]. Поэтому сколь угодно близко к Cch с хаотической динамикой найдется регулярная область с притягивающим циклом. Однако, при приближении к Cch период орбиты растет, длительность переходного хаоса стремится к бесконечности и практически невозможно отличить регулярную динамику от хаотической. Сложное переплетение области регулярной и хаотической динамики показано на бифуркационной диаграмме слева).
Ниже показан странный аттрактор (справа) и переплетение областей регулярной и хаотической динамики (слева) для двумерного обратимого отображения Эно.

[1] Кузнецов С. П., Динамический хаос (курс лекций).- М.: Физматлит, 2001.
[2] Елютин П.В. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА курс лекций, физфак МГУ, 2001


Содержание   »Отображение "зуб пилы"   Замечания о приложениях на Яве
изменено 12 июля 07