Подобие окон регулярной динамики

Общая особенность для хаотических динамических систем состоит в том [1], что при изменения параметров рождается устойчивая орбита с периодом n (касательная бифуркация). Далее происходит переход к хаосу через каскад удвоения периода. Все заканчивается кризисом, при котором неустойчивая орбита с периодом n рожденная в исходной касательной бифуркации сталкивается с хаотическим аттракторм. Область параметров между касательной бифуркацией и кризисом называется окном регулярной динамики с периодом n. Заметим, что центральная часть нижнего рисунка подобна всей бифуркационной диаграмме.

Ширина окна. "Линейное" приближение

Рассмотрим окно с периодом n (см. картинку выше). При итерациях орбита критической точки последовательно перемещается между n узкими интервалами S1 → S2 → S3 → ... → S1 с длиннами sj (мы выбрали S1 так, чтобы он включал критическую точку x = 0).
Следуя [1,2], рассмотрим fcon(x) при малом x (в центральном узком интервале S1) и для c около значения cc соответствующего сверхустойчивости притягивающей орбиты с периодом n. Размеры интервалов sj малы и отображение в интервалах S2, S2, ... Sn можно считать приближенно линейными, оставляя в центральном интервале квадратичный член. Тогда
    xj+n ~ Λn [xj2 + β(c - cc )],
где Λn = m2m3 ...mn произведение производных отображения mj = 2xj в (n-1) нецентральных интервалах и β = 1 + m2-1 + (m2m3)-1 + ... + Λn-1 ~ 1 при больших Λn. Вычислим Λn при c = cc и будем считать его постоянным в узком окне. Вводя X = Λnx и C = βΛn2(c - cc ) получаем квадратичное отображение
    Xj+n ~ Xn2 + C.
Т.о. ширина окна ~ 9/4βΛn-2, а ширина центрального интервала Λn-1.

Числа

Для самого большого окна окна с периодом 3 параметры скейлинга Λ3 = -9.30 и β = 0.608. Т.о. центральная зона сжата ~ 9 раз и зеркально отражена относительно линии x = 0. Ширина окна сжата в βΛ32 = 52.5 раз. Налево внизу приведена бифуркационная диаграмма fc. Подобное изображение направо расположено в центральной зоне самого большого окна с периодом 3. Окно растянуто в 9 раз в горизонтальном x направлении и в 54 раза в вертикальном c направлении.
Ниже приведено карликовое множество Мандельброта с периодом 3 расположенное на комплексной плоскости около c3 = -1.7542 . Оно в βΛ32 = 52.5 раз меньше, чем все множество Мандельброта. Аналогично карликовое J(0) (черная окружность) сжато в Λ3 = -9.30 раз.

[1] J.A.Yorke, C.Grebogi, E.Ott, and L.Tedeschini-Lalli   "Scaling Behavior of Windows in Dissipative Dynamical Systems" Phys.Rev.Lett. 54, 1095 (1985)
[2] B.R.Hunt, E.Ott  Structure in the Parameter Dependence of Order and Chaos for the Quadratic Map  J.Phys.A 30 (1997), 7067.


Содержание   «Бифуркационная диаграмма   »Хаос в квадратичных отображениях
изменено 25 июня 06