Касательные бифуркации

Левое пересечение зеленой прямой и параболы - притягивающая неподвижная точка, а правое пересечение - репеллер. При c = 1/4 парабола касается зеленой прямой и две точки сливаются. При c > 1/4 пересечения пропадают и неподвижные точки становятся комплексными и неустойчивыми. Это явление называется касательной бифуркацией.
На бифуркационной диаграмме внизу вы видите, что при -3/4 < c < 1/4 итерации сходятся к устойчивой неподвижной точке z1. При c > 1/4 (в верхней части картнки) итерации расходятся к бесконечности. Репеллер z2 возникающий в тангенциальной бифуркации показан на Fig.1.
Tangent

Касательная бифуркация на комплексной плоскости

Scheme Пока c лежит в главной кардиоиде, атрактор z1 лежит в синейм круге, а репеллер z2 - в желтом. Когда c выходит из кардиоиды, z1 выходит из синего круга и теряет устойчивость.

Если c = 0, то z1 = 0, z2 = 1. Когда c идет в 1/4,   z1, 2 движутся к точке p = 1/2 и при c = 1/4 оба корня совпадают с p. При c > 1/4 обе неподвижные точки - отталкивающие
    z1,2 = 1/2 ∓ i t,   t = (c - 1/4)1/2
где t вещественно.

На рисунках внизу цвет внутри J показывает, как быстро точка идет к атрактору z1.
"цветная капуста"
Атрактор и репеллер встречаются (выше) после чего мы получаем два репеллера. Ниже мы видим канторовы множества и теперь точки из внутрей области уходят на бесконечность. Вокруг репеллеров с мультипликаторами 1 ∓ 2it образуются логарифмические спирали.


Содержание   « Притягивающая неподвижная точка и орбита с периодом 2   » Бифуркации удвоения периода
updated 28 ноября 2013