Касательные бифуркации
Левое пересечение зеленой прямой и параболы - притягивающая
неподвижная точка, а правое пересечение - репеллер.
При c = 1/4 парабола касается зеленой прямой и две
точки сливаются. При c > 1/4 пересечения пропадают и
неподвижные точки становятся комплексными и неустойчивыми.
Это явление называется касательной бифуркацией.
На бифуркационной диаграмме внизу вы видите,
что при -3/4 < c < 1/4 итерации сходятся к устойчивой
неподвижной точке z1.
При c > 1/4 (в верхней части картнки) итерации расходятся к
бесконечности. Репеллер z2 возникающий
в тангенциальной бифуркации показан на Fig.1.
Касательная бифуркация на комплексной плоскости
Пока c лежит в главной кардиоиде, атрактор z1
лежит в синейм круге, а репеллер z2
- в желтом. Когда c выходит из кардиоиды, z1
выходит из синего круга и теряет устойчивость.
Если c = 0, то z1 = 0, z2 = 1.
Когда c идет в 1/4, z1, 2
движутся к точке p = 1/2 и при c = 1/4 оба корня совпадают с p.
При c > 1/4 обе неподвижные точки - отталкивающие
z1,2 = 1/2 ∓ i t,
t = (c - 1/4)1/2
где t вещественно.
На рисунках внизу цвет внутри J показывает, как быстро точка идет
к атрактору z1.
"цветная капуста"
Атрактор и репеллер встречаются (выше) после чего мы получаем два
репеллера. Ниже мы видим канторовы множества и теперь точки из внутрей области
уходят на бесконечность. Вокруг репеллеров с мультипликаторами
1 ∓ 2it образуются логарифмические спирали.
Содержание
« Притягивающая неподвижная точка и орбита с периодом 2
» Бифуркации удвоения периода
updated 28 ноября 2013