Критические точки и теорема Фату
Налево показана орбита выходящая из zo = 0
и сходящаяся к притягивающей неподвижной точке z∗ =
f(z∗ ). При малых ε
fc(z∗ + ε )
= z∗ + λ ε +
O(ε 2), |λ| < 1
поэтому на рисунках внизу f переводит желтое кольцо в
меньшее оранжевое, а то в красное и т.д. (здесь |λ| = 0.832).
Одна из двух ветвей обратной функции f -1
отображает эти окружности в обратном порядке.
Это отображение можно аналитически продолать [1] пока
f -1 - гладкая несингудярная функция с конечной производной.
Дифференцируя f -1(f(z)) = z мы получим
f -1(t)'|t = f(z) = 1 / f '(z).
Точки для которых f '(zc ) = 0 называются критическими точками и
обратное отображение сингулярно в t = f(zc ). Так у квадратичного
отображения одна критическая точка zc = 0 и
обратное отображение fc-1(z) =
±(z - c)1/2 сингулярно в z = f(0) = c. Его можно продолжить
до границы желтой области, содержащей z = c, которая отображается
в линию в форме восьмерки с критической точкой в центре. Поэтому итерации
fcon(zc ) сходятся к
z∗ при больших n.
Т.к. у квадратичного отображения одна критическая точка
zc = 0, то у него может быть только один притягивающий
цикл! (Вторая критическая точка на бесконечности притягивает расходящиеся
орбиты). Поэтому, чтобы узнать есть ли у отображения притягивающий цикл,
достаточно проверить критическую орбиту.
Теорема Фату: каждый притягивающий цикл полиномиальной или
рациональной функции притягивает по крайней мере одну критическую точку.
[1] John W. Milnor "Dynamics in One Complex Variable" § 8.5
Содержание
«Симметрия множества Жулиа
»Фундаментальная дихотомия для множества
Жулиа
изменено 12 дек 13