Критические точки и теорема Фату

Налево показана орбита выходящая из zo = 0 и сходящаяся к притягивающей неподвижной точке z = f(z). При малых ε
    fc(z + ε ) = z + λ ε + O(ε 2),     |λ| < 1
поэтому на рисунках внизу f переводит желтое кольцо в меньшее оранжевое, а то в красное и т.д. (здесь |λ| = 0.832). Одна из двух ветвей обратной функции f -1 отображает эти окружности в обратном порядке. Это отображение можно аналитически продолать [1] пока f -1 - гладкая несингудярная функция с конечной производной.
Дифференцируя f -1(f(z)) = z мы получим
    f -1(t)'|t = f(z) = 1 / f '(z).
Точки для которых f '(zc ) = 0 называются критическими точками и обратное отображение сингулярно в t = f(zc ). Так у квадратичного отображения одна критическая точка zc = 0 и обратное отображение fc-1(z) = ±(z - c)1/2 сингулярно в z = f(0) = c. Его можно продолжить до границы желтой области, содержащей z = c, которая отображается в линию в форме восьмерки с критической точкой в центре. Поэтому итерации fcon(zc ) сходятся к z при больших n.

Т.к. у квадратичного отображения одна критическая точка zc = 0, то у него может быть только один притягивающий цикл! (Вторая критическая точка на бесконечности притягивает расходящиеся орбиты). Поэтому, чтобы узнать есть ли у отображения притягивающий цикл, достаточно проверить критическую орбиту.

Теорема Фату: каждый притягивающий цикл полиномиальной или рациональной функции притягивает по крайней мере одну критическую точку.

[1] John W. Milnor "Dynamics in One Complex Variable" § 8.5


Содержание   «Симметрия множества Жулиа   »Фундаментальная дихотомия для множества Жулиа
изменено 12 дек 13