Бифуркации удвоения периода

Бифуркации удвоения периода вещественных отображений

При c < 1/4, после касательной бифуркации, левая неподвижная точка x1 квадратичного отображения устойчива, пока ее мультипликатор 1 | < 1. При c < -3/4 мультипликатор λ1 = 1 - (1 - 4c)½ < -1, поэтому неподвижная точка теряет устойчивость и появляется устойчивая орбита с периодом 2. Это явление называется бифуркацией удвоения периода.
Чтобы проследить за рождением атрактора с периодом 2, рассмотрим отображение f o2(x) = f(f(x)). Очевидно, что атрактор fc будет атрактором fco2 (внизу налево). При c < -3/4 неподвижная точка теряет устойчивость и у fco2 одновременно появляется два новых пеерсечения (внизу направо). Эти точки x3 , x4 образуют орбиту с периодом 2.
При c =-5/4 цикл теряет устойчивость и появляется устойчивая орбита с периодом 4. Бифуркация удвоения периода называется также бифуркацией вилки (см. ниже).
Tangent

Бифуркация удвоения периода на комплексной плоскости

Scheme
Этот рисунок иллюстрирует бифуркацию на комплексной плоскости. Пока c меняется от c = 0 до c = -3/4 (внутри главной кардиоиды) атрактор z1 движется от 0 к параболической точке p = -1/2. Две (комплексные) точки неустойчивой орбиты с периодом 2
    z3,4 = -1/2 ± i t,     t = (3/4 + c)½ > 0,
также движутся к p сверху и снизу. В точке c = -3/4 атрактор встречается с неустойчивой орбитой. Далее, при c < -3/4 появляются неустойчивая неподвижная точка и устойчивая орбита с периодом 2
    z3,4 = -1/2 ± t,     t = (-3/4 - c)½.
На правой картинке выше показано канторово множество. Оно получается, если после c = -3/4 смещаться вверх.
Содержание   « Касательные бифуркации   » Бифуркация утроения периода
updated 28 ноября 2013