Метод Монте-Карло

Как мы убедились, если при вычислении средних на компьютере генерировать спиновые конфигурации случайным образом, то мы очень часто будем получать маловероятные состояния, которые дают очень малый вклад в средние. Реализуемые методом Монте-Карло, случайные блуждания чаще всего проходят через состоя системы наиболее выгодные с энтропийно- энергетической точки зрения.

Алгоритм Метрополиса

В алгоритме Метрополиса на каждом шаге марковского процесса по имеющейся конфигурации строится следующая изменением одной из степеней свободы (переворотом одного спина). Новая конфигурация принимается (т.е. спин переворачивается) с вероятностью, равной отношению гиббсовских весов новой и старой конфигураций
    W12 = exp[(E1-E2)/T] при E1 < E2
    W12 = 1 при E1 > E2
где E1, E2 - энергии старой и новой конфигураций спинов соответственно. Если новая конфигурация отбрасывается, то старая используется в усреднении еще один раз. В асимптотическом пределе частота прохождения через данное состояние оказывается пропорциональной его вероятностному (гиббсовскому) весу. Средние вычисляются с использованием полученных конфигураций (более подробное описание алгоритма можно посмотреть у Казакова или Гулда и Тобочника). Алгоритм Метрополиса может быть легко применен для моделирования фазового перехода в XY модели.

Далее мы убедимся, что выбирать W12 можно различными способами. Для того, чтобы итерационный процесс в асимптотическом пределе приводил к распределению Гиббса достаточно, чтобы вероятности перехода удовлетворяли принципу детального равновесия
    W12 exp(-E1/T) = W21 exp(-E2 /T) или     W12 / W21 = exp[(E1-E2 )/T].
Используемое Java приложение основывается на программах приведенных в книге Гулда и Тобочника. Алгоритм Метрополиса (случайный переворот спина) последовательно применяется ко всем ячейкам решетки после чего выводятся "мгновенные" значения Et, Mt и вычисляются средние по "марковскому" времени
    <M>M = 1/T ∑t=1,T Mt ,     <E>M = 1/T ∑t=1,T Et .
Теплоемкость C и магнитная восприимчивость χ системы могут быть определены по величине флуктуаций энергии и намагниченности из формул
    C = d<E>/dT = n/T2 (<E2> - <E>2) ,
    χ = limH→ 0 d<M>/dT = n/T (<M2> - <M>2)
.

Управление Нажмите клавишу мыши, чтобы получить новую конфигурацию спинов. Нажмите "Enter", чтобы ввести новое значение температуры T.

Неравновесная динамика спинов

Ниже вы видите две особенности в поведении нашей модели. Прежде вего, т.к. вероятность перехода, получаемая из формулы Метрополиса P(Si→ Sj ) = e-ΔEij/T → 1 при высоких температурах (T >> ΔEij), поэтому в больших сплошных кластерах знак спинов осциллирет. Во вторых, вы видите рост древовидных структур из левого нижнего угла, т.к. случайный переворот спинов происходит последовательно по строкам, начиная с этого места.

Алгоритм термостата

В алгоритме термостата на каждом шаге один выбранный спин приводится в состояние равновесия с термостатом с температурой T при фиксированной конфигурации остальной системы. Вероятность для спина принять новое значение +-1 не зависит от его исходного состояния и определяется гиббсовскими весами двух возможных состояний с энергиями E+ , E-
    P+ = exp(-E+ /T) / [exp(-E+ /T) + exp(-E- /T)] = exp(-(E+-E- )/T) / [exp(-(E+-E- )/T) + 1] ,
    P- = exp(-E- /T) / [exp(-E+ /T) + exp(-E- /T)] = 1 - P+ .

Легко видеть, что для этих вероятностей выполняется условие детального равновесия. При высоких температурах P+ , P- → 1/2, что ведет к гладкому "плавлению" кластеров.

Однако, вы можете заметить, что при низкой температуре (например T = 1) и старте из случайной (горячей) конфигурации спинов в системе формируются группы метастабильных кластеров. Затем они очень медленно уменьшаются в размерах и в системе остается один большой кластер. В методе Метрополиса равновесие устанавливается быстрее, однако в нем также может формироваться устойчивая доменная стенка.
Содержание   «2D модель Изинга   »Критическое замедление
изменено 31 декабря 2001