Capítulo 6. Cálculos matemáticos

Ya hemos visto algunas funciones matemáticas que funcionan sobre los tipos de datos que admite YACAS.

6.1. Análisis matemático

Con YACAS podemos resolver problemas de análisis matemático.

6.1.1. Funciones trigonométricas

Disponemos de las siguientes funciones trigonométicas:

Sin, ArcSin, Cos, ArcCos, Tan, ArcTan.

Estas funciones toman los argumentos en radianes y pueden ser aplicadas a listas.

6.1.2. Logaritmos y la función exponencial

Disponemos de:

Exp y Ln.

Estas funciones se pueden aplicar a listas.

Cuando el argumento es un complejo la función Ln trabaja con la determinación del logaritmo en el intervalo (-Pi,Pi].

6.1.3. Suma de una lista de valores

Podemos sumar una lista de valores con Sum. Esta función podemos utilizarla de dos formas:

  1. Para calcular la suma de una serie de valores sin relación alguna:

    In> Sum({1,3,5,Pi,9});
    Out> Pi+18;
    In>
    	    
  2. Para calcular la suma de una serie de valores relacionados. Por ejemplo para calcular la suma, finita, de los cuadrados de los diez primeros enteros:

    In> Sum(n,1,10,n^2);
    Out> 385;
    In>
    	    

    Los argumentos indican lo siguiente:

    • El primero indica la variable.

    • El segundo indica desde donde se empezará a sumar.

    • El tercero indica hasta que termino se sumará.

    • El cuarto indica el término general de la serie.

6.1.4. Producto de una lista de valores

La función Factorize funciona igual que Sum pero en lugar de sumar multiplica.

6.1.5. Calculando el máximo y el mínimo de una lista

Podemos utilizar Min o Max para encontrar el mínimo o el máximo de dos o más elementos. Si lo hacemos de más de dos elementos tendremos que utilizar una lista.

In> Min(2,-5);
Out> -5;
In> Max({4,7,2,56,8,9,-8,3});
Out> 56;
In>
	

6.1.6. Cálculo de límites

Podemos calcular límites con Limit para funciones de una variable. Los podemos calcular también tanto por la izquierda como por la derecha:

Ejemplo 6-1. Cálculo de límites

In> Limit (x,0) Sin(x)/Ln(x-1);
Out> 0;
In> Limit (x,0,Left) 1/x;
Out> -Infinity;
In> Limit (x,0,Right) 1/x;
Out> Infinity;
In>
	  

6.1.7. Derivación

Podemos calcular derivadas con D respecto de una variable (con diferentes ordenes) y sobre varias variables:

Ejemplo 6-2. Derivando funciones

In> D(x) 1/x^2;
Out> (-2*x)/x^4;
In> D(x,2) 1/x^2;
Out> (-2*x^4+2*x*4*x^3)/x^8;
In> D({x,y,z}) (x/y)+z;
Out> {y/y^2,(-x)/y^2,1};
In> D({x,y,z},2) (x/y)+z;
Out> {0,(x*2*y)/y^4,0};
In>
	  

Hemos hecho lo siguiente:

  1. Hemos calculado la derivada respecto de x.

  2. Hemos calculado la derivada respecto de x dos veces.

  3. Hemos calculado las derivadas respecto de x, y y z.

  4. Hemos calculado las derivadas respecto de x, y y z dos veces.

6.1.8. Desarrollos de Taylor

Podemos hacer desarrollos de Taylor utilizando Taylor. Para ello tendremos que indicar la variable, el punto en el que queremos hacerlo y hasta que orden.

Para hacer el desarrollo de Taylor de la funcion seno en el punto cero y hasta orden 11:

Ejemplo 6-3. Desarrollos de Taylor

In>Taylor(x,0,11) Sin(x);
Out> x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040+x^9/362880-x^11/39916800;
In>

También podemos utilizar la función InverseTaylor. Esta función se utiliza de igual forma pero calcula el desarrollo de Taylor de la inversa de la función indicada.

6.1.9. Integración

Podemos utilizarIntegrate para calcular integrales tando indefinidas (aunque todavía no resuelve todo tipo de integrales indefinidas) como definidas:

Ejemplo 6-4. Integración de funciones

In> Integrate(x) Sin(Ln(x));
(x*Sin(Ln(x)))/2-(x*Cos(Ln(x)))/2;
In> Integrate(x,-2,0); Sin(x);
Out> Cos(2)-1;
In>
	  

Hemos hecho lo siguiente:

  1. Hemos calculado la integral indefinida sobre la variable x.

  2. Hemos calculado la integral definida entre -2 y 0.

6.1.10. Divergencia de un campo vectorial

Podemos calcular la divergencia de un campo vectorial con Diverge. Necesitaremos indicarle las variables:

Ejemplo 6-5. Divergencia de un campo vectorial

In> Diverge({i*j,j*k,k*i},{i,j,k});
Out> j+k+i;
In>
	  

6.1.11. Algunas funciones útiles

  • !, calcula el factorial del número que le precede. Para que funcione bien el analizador sintático de YACAS no se puede poner ningún operador inmediatamente después de !, habrá que dejar un espacio en blanco:

    In> 3!+1;
    CommandLine(1) : Error parsing expression
    
    In> 3! +1;
    Out> 7;
    In>
    	    
  • Average, calcula la media aritmética de una lista de valores.

  • Abs, calcula el valor absoluto de los números reales y el módulo de los complejos. Puede ser evaluada sobre listas.

  • Bin, calcula el número combinatorio n sobre m:

    Ejemplo 6-6. Uso de Bin

    In> Bin(8,5);
    Out> 56;
    In>
  • Sign, devuelve 1 para números positivos y -1 para los negativos. Se considera el cero como positivo.

  • Sqrt, para el cálculo de raíces cuadradas y se puede utilizar sobre listas, números enteros positivos y negativos, números reales y complejos.