Subject: Entertainning Problem (~{H$N6NJLb~})

From: [email-masked] (Zhiping You)
Date: 21 Nov 1993 05:59:46 GMT

守  株  待  兔

【引子】

    看来，大众化还是很有必要。上周的题目引起了本专栏成立以来
最多的讨论。只不过后来的讨论有点跑题，扯到什么“计划生育”上
去了。出乎意外，但很有意思。还有不少人的讨论是围绕着一些组合
级数的算法。原来出题时没想到会引来计算方面的问题。既然不少人
对计算方面的问题也有兴趣，这次就来一个确实需要一点计算的问题。

    “守株待兔”在字典上的解释是：不主动努力争取，而希望得到
意外的收获。实际上，在一定的假设条件下，我们可以发现（通过一
定的计算），这意外其实并不意外。

【正题】

    假设一野兔撞树后晕头转向，只能以各四分之一的概率向东南西
北随机乱跑。试证明此兔再次回到原树下的概率为一。也就是说：：
“守株待兔”一定成功。

【注一】本题乃受“顺理”兄启发所得，在此谢过。

【注二】本人现有的证明比较难，不是太理想。所以，本题应算是征
解。希望能找到更好的解。

【上周问题讨论】

    上周的问题题目是：“兄弟数”，因本人觉得第二题关于兄弟数
的问题很有意思。没想到讨论第一题的人却比讨论第二题的人多多了。

    给出正确解的人很多，不能一列举，只引出最先由“九爷”贴出
的一则。

>>     下面两个问题中都假设生男生女的概率各为二分之一。（严格地
>> 说起来，生男的概率稍大，但男孩后天死亡率较高，到结婚年龄时就
>> 基本扯平）。

>> 【问题一】

>>     在一个重男轻女的国家，假设所有的家庭都采用同一个原则：生
>> 男孩就停，生女孩就接着生，直到生男孩为止。这样的原则是否会造
>> 成男女比例失调？为什么？

>这个容易，第一胎生男孩的几率是二分之一，生女孩的几率也是二分之一，
>第二胎（第一胎女孩）生男孩的几率应为四分之一，生女孩的几率也为四分之
>一，可以一直做下去，很明显男女数完全相等，还可证明（如果没有生育问题）
>:-)两代人的数目相等，即人口只减不增。

>这么说，这是个绝好的主意，谁跟国内建议建议？:-)

>> 【问题二】

>>     在二男二女的家庭，每个女孩有两个兄弟。每个男孩只有一个兄
>> 弟。在三男三女的家庭，每个女孩有三个兄弟。每个男孩只有两个兄
>> 弟。如此看来，在大亍上随便抓一男一女，这个女人的兄弟个数比较
>> 有可能大于这个男人的兄弟个数。换句话说，世界上所有的女人的兄
>> 弟个数的总和远远大于世界上所有的男人的兄弟个数的总和。这命题
>> 是否正确？为什么？

>初看没错，没有哪个男人把自己当成自己的兄弟的，所以总和之差就等于
>男人的总数，其实不然。不失一般性，现在我仅考虑子女数为ｎ的家庭
>证明男人的兄弟数总合等于女人的兄弟数总合。对男人的兄弟数有贡献的
>家庭中的男人数应为二到ｎ，对女人的兄弟数有贡献的家庭的女人数应为
>一到ｎ－１。下面我将证明男人数为ｋ的家庭对男人的兄弟总数的贡献等于
>女人数为ｋ－１的家庭对女人的兄弟数的贡献，这样原题也就得证了。

>对不起，我非得用些数学符号来表示，男人数为ｋ的家庭对男人的兄弟总数
>的贡献等于C(n,k)*k*(k-1)=n(n-1)*C(n-2,n-k)（Ｃ是组合数）
>女人数为ｋ－１的家庭对女人的兄弟数的贡献等于C(n,k-1)*(k-1)*(n-k+1)
>=n(n-1)*C(n-2,n-k)

>证毕

>我再想想是否没有必要用到任何数学运算就能证明这个。

>九爷（ＩＧＳ）

另外，还有人给出了男孩数和女孩数的期望值的公式：

>        TOTAL 男孩数是
>        infinite
>         ____
>         \     1 
>          >   ---
>         /___   n
>               2
>         n=1
>        TOTAL 女孩数是
>        infinite
>         ----
>         \      n-1
>          >    -----
>         /        n
>         ----    2
>         n=1
>        Will 男孩数 equal to 女孩数?

关于第二个级数，sum(n,1,infinite,(n-1)/2^n), 很多网友
提出不少算法，本人也提一算法供大家参考：

  假设  Ｓ ＝  sum(n,1,infinite,(n-1)/2^n) ，易知：
  sum(n,1,infinite,n/2^n) ＝  ２Ｓ

  于是：

   Ｓ＝  sum(n,1,infinite,(n-1)/2^n) 
     ＝  sum(n,1,infinite,n/2^n) － sum(n,1,infinite,1/2^n) 
     ＝  ２Ｓ － １

   所以：  Ｓ＝ １

其实，上周的两题都不需要什么计算：

第一题，我们的题目里并没有对已经生出的小孩或将要继续生的夫妻做任
何手脚。所以男女比例应是不变的。正如一位网友所说：只要无溺婴、弃
婴，男女比例是不变的。

第二题，任何人的性别与他（她）的同胞的性别是没有关系的。所以，男
人的兄弟数与女人的兄弟数应该是一样的。

参加上周问题讨论的网友有：

    九爷，TZ Wang, Ed Chen, 笑飞，野人，歪夷，
    Hongda, Muyu Guo,瘦金鱼  等等， 谢谢捧场。

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