
\def\hcorrection#1{\advance\hoffset by #1 }
\def\vcorrection#1{\advance\voffset by #1 }

\documentstyle{article}
\pagestyle{plain}

\vcorrection{-1.0in}
\hcorrection{-0.6in}
\textwidth 5.5in
\textheight 8.0in

\begin{document}
%"\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\begin{large}
\input pmCs
\beginchinese
\bigCtrue

\begin{center}
$B_n$ �� Weyl Ⱥ��ĳЩ $sl_2$ �ͱ�ʾ
\end{center}

\vspace{0.2in}


1. ���ԡ�

\vspace{0.2in}

    �� [3] �ж� $X$Ϊһ�� $B_n$ (�� $C_n$ ) �� Weyl Ⱥʱ, ���߹����� $X$ ��һ
Щ����Լ�ĸ���ʾ����Щ��ʾ����������� Tits ���͵�ĳһ�� ``����ѡ���"
(rank selected) �Ӹ��͡���Щ����ķ����ǱȽϱ�׼��, ���������Ӹ��͵�
��ͬ��ģ�����Ļ�����, �����˶�Ӧ�ı�ԭ�ݵ�Ԫ�ء�����, ��``����" ��
����, �Ǿ���˵�� $X$Ϊһ��  Weyl Ⱥʱ, ��Щ��ʾ�ķ�������ô�������ԡ�
�� $E$ Ϊ������ͬ��ģ�����Ļ��Ӵ���, ������֤���� $E$ �ǿɽ����Ĳ�������
ĳһ��Ԫ�� $T$ ���ɵġ�������еı�ԭ�ݵ�Ԫ�ض����Ա�ʾ��  $T$ �ݵ���
����� $\sum a_sT^s$�����ڰ��˸�����ԭ�ݵ�Ԫ��, �������Ϳ��Թ�ᵽȷ��
ϵ��  $\alpha _s$ �����⡣����, ��``��˷�" $T:E\to E$ ������ӵ�����ֵ, 
�����ܹ�ȷ����Ҫ���ϵ�� $\alpha _s$ (�� [3])��

    �ڱ��������Ǽٶ�Ⱥ $X$ Ϊһ�� $B_n$ (�� $C_n$ )  �� Weyl Ⱥ��������Ҫ��
Ŀ���Ǹ������Ļ��Ӵ��������б�ԭ�ݵ�Ԫ�ص�һ���·���, �˹���ķ�����
���� [3]  ����, ���Һ������ $sl_2({\bf C})$ ������άģ֮������ϵ�������
˵, ���ǽ�֤��������������� $T$ �� $E$ �ϵ������뷽��

$$\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\in sl_2({\bf
C})$$

\noindent �ڲ���Ԫ $x,y$ �� $r$ ����ζ���ʽ�ռ��� ($r$ Ϊ $E$ ��ά��)  
�����û�����ͬ��

\vspace{0.25in}

2. ����Ļعˡ�

\vspace{0.20in}

    �� $W$ �� $B_n$  ��Ⱥ, ��������ı�ʾΪ���� $\{\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n\}$�ϵ��з��û�Ⱥ��ͬ����Ϊһ�� Coxeter Ⱥ, $W$ �Ļ�������ԪΪ
$s_ 1=(12),s_2=(23),\ldots ,s_{n-1}=(n-1,n),s_n=(-n)��$ 
����ÿһ���Ӽ��� $J\subseteq R:=\{1,2,\ldots n\}$, ȡ

$$W_J=<s_j|\ j\in J>;$$

\noindent ��Ⱥ $W_J$ ��Ϊ $W$ ��������Ⱥ��

    Ⱥ $W$ ����Ȼ�ķ�ʽ�������ɳ����������ɵ�һ���������� $\Delta $���������
$\Delta $ �Ķ��㼯��Ϊ $\sigma =\{i_0,i_1,\ldots ,i_k\}$ ���� $|i_p|\not= |i_q|$
�� $p\not= q$�����ڿ���
����  Coxeter ���� $\Theta $ Ϊ���� $\Delta $ �������ط֡���� $\Theta $     
�Ķ���Ϊ�Ӽ��� $\sigma=\{i_0,i_1,\ldots ,i_k\}$ 
(������ $\Delta $ �ĵ���) �� $\Delta $ �ĵ���Ϊȫ����
$\{\sigma _0,\sigma _1,\ldots ,\sigma _h\}$��

    ����ÿһ���Ӽ� $K\subseteq R$ ��ν  ``����ѡ���" �Ӹ��� $\Delta _K$ �Լ���$\sigma =\{i_1,i_2,\ldots ,i_k\}$ Ϊ $\Theta _K$ �Ķ���, ���� $k\in K$������������
$\Theta=\Theta _R$; ��һ�������¸��� $\Theta _K$
��ά��Ϊ $|K|-1$��ע��Ⱥ $W$ �ɰ����Եķ��������ڸ��� $\Theta _K$; 
������ $H_i(\Theta _K)$ �� $\Theta _K$ ������ϵ����ͬ��ģ, $0\leq i\leq |K|-1$ ,
�� $W$ Ҳ������ÿһ���ռ� $H_i(\Theta _K) $�����ǵĻ���Ŀ�ľ���Ҫ��
$H_i(\Theta _K)$ �ֽ�ɲ���Լ�� $W$- ��ģ, ���� $d=|K|-1$��

    ������ [2]  �� [1]  �Ľ��, ���ǵ�֪��� $H_i(\Theta _K)\not=0$ �� $i>0$,  ��һ���� $i=d=|K|-1$, �˼����ε�ά����Ϊ�˼򻯷���, ���ǰ� $H_d(\Theta _K)$   
д�� $H(\Theta _K)$ ������ $C(\Theta _K)$ ����߽׵���ģ, ���仰��˵,
$C(\Theta _K)$ ���� $d$ ά������Ϊ����һ�����Կռ䡣 
������ǿ�֪ $H(\Theta _K)$ Ϊ $C(\Theta _K)$ ��һ�� $W$- ��ģ��

    �ڱ�����, ���ǽ������й��Ӽ� $K\subseteq R$ �������� [3]  ��һ��, �� $K$ ����ʽΪ $K=K_r=\{r,r+1,\ldots ,n\}$, ���� $r+1,2,\ldots ,n$, ��ɡ�������Ϊ
$W$- ģ�� $C_r=C(\Theta _K)$ ���ɱ�־ (flag)

$$\sigma _0=[\{1,2,\ldots ,r\}\subseteq \{1,2,\ldots
,r+1\}\subseteq\cdots\subseteq\{1,2,\ldots ,n\}]$$

\noindent ���ɵġ�����ע�� $W$  �е� $\sigma _0$ ���ȶ�����Ⱥ����������Ⱥ 
$W_{K'}$, ����
$K'=R-K$�� �������Ƕ����� $W$ ģ�ϵ�һ����̬ͬ $T_i:C_r\to C_r$ Ϊ

$$T_i(x\sigma _0)=x\sum _{w\in W_{K'}}w(-1)(-2)\cdots (-i)\sigma _0;$$

\noindent ���ϱߵķ�����, $x$ Ϊ $W$ ������Ԫ�ء�������, ÿһ�� $T_i$ ��Ϊ��
����ض���ġ�

    ע���� $0\leq i\leq r$ �Ļ�, ��

$$T_1T_i(\sigma _0)\ =\ x\sum _{w\in W_{K'}}w(-1)\cdots (-i)\sum _{w'\in
W_{K'}}w'(-1)(\sigma _0)$$ $$=\ (r-1)!\sum _{w\in W_{K'}}w(-1)\cdots
(-i)[(-1)+\cdots +(-r)](\sigma _0)\\$$ \renewcommand{\theequation}{2.1}
\begin{eqnarray} =\ (r-1)!iT_{i-1}+(r-1)!(r-i)T_{i+1}\mbox{��} \end{eqnarray}
\renewcommand{\theequation}{\arabic}

\noindent ��˲��Ѱ�����������ƹ������ĳ˷���ʽ:

$$T_kT_i\ =\ k!(r-k)!\sum _{j=0}^k{{k-j}\choose {i}}{{j}\choose{r-i} }T_{i-k+2j},$$


\noindent $0\leq k,i\leq r$�������������ƶϼ��� $\{T_0,T_1,\ldots T_r\}$
���������Ϊ���� $\mbox{End}_W(C_r)$ ��һ���Ӵ�����

    �� $0\leq i\leq r$ ʱ, ���ǰ�̬ͬ $T_i$ �� $H(\Theta _K)$ �ϵ�����д��      ��
$\tilde{T}_i$����ô���� [3]  �еĽ��, ��֪ $\tilde{T}_i(H(\Theta_K))
\subseteq H(\Theta _K)$, ������ǵõ�һ��̬ͬ

$$E_r\longrightarrow \mbox{End}_W(H(\Theta _K))\mbox{��}$$


\noindent �������� [3]  �еĽ��, ���������̬ͬ���������, 
������ά��Ϊ 1 �ĺˡ�
����, ����������е���������:

$$\sum_{j=0}^r{{r}\choose {j}} T_{r-j}\mbox{��}$$


\noindent ���, �����ϱߵ�Ԫ��֮��, 
������Ҫ��������Ǽ��� $E_r$ ������������ԭ��
��Ԫ��

$$e\ =\ \sum_{j=0}^r\alpha _jT_j\mbox{��}$$

\vspace{0.25in}

3. ��ԭ�ݵ�Ԫ�ء�

\vspace{0.2in}

    �Է��� (2.1) ������� $\frac{i}{(r-1)!}T_1$ ,�����������һ�������ʾ��

\renewcommand{\theequation}{3.1} \begin{eqnarray} \left[
\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & \cdot & \cdot & \cdot\\ r & 0 & 2 &
\cdot & \cdot & \cdot\\ 0 & r-1 & 0 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & 0
& r-2 & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 0 & \cdot & \cdot &
\cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot
& \cdot & \cdot & 0 & r \\ 0 & \cdot & \cdot & \cdot & 1 & 0 \\
\end{array}\right]\mbox{��}  \end{eqnarray} \renewcommand{\theequation}{\arabic}


    ����֪����������� $L=sl_2({\bf C})$ ������ά����Լģ���ɰ����淽ʽ
����������� $x,y$ Ϊ����Ԫ�ض� $V$ Ϊ�� $x,y$ ��ϵ����Կռ䡣��
���� $L$ ���������� $V$ ����:

$$\left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\\end{array}\right]:
x\mapsto ax+cy,\ y\mapsto bx+dy\mbox{��}$$


\noindent ������ $V^{(r)}$ �ǿռ� $V$ �� $r$   
�ζԳ���; ���������ܰ� $V^{(r)}$ ����Ϊ
����Ԫ $x,y$  �� $r$ ����ζ���ʽ�ռ䡣 $L$ �� $V^{(r)}$ �ϵ������ǰ���
��ν ``΢�ַ�"  ����, ����� $\tau\in L$, ��

$$ \tau (x^{r-i}y^i)=(r-i)x^{r-i-1}\tau (x)y^i+ix^{r-i}y^{i-1}\tau
(y)\mbox{��}$$

\noindent �����˵, �� $\tau =
\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right]$
 ʱ, ��

$$\tau (x^{r-i}y^i)=(r-i)x^{r-i-1}y^{i+1}+ix^{r-i+1}y^{i-1}\mbox{��}$$

\noindent �ɴ�, ���ڿռ� $V^{(r)}$ �Ļ� $\{x^r,x^{r-1}y,\ldots , y^r\}$ ,
$\tau $ ���ϵ��������� (3.1)  �ķ����ʾ������

    ���, ע������ķ�����ζ��

$$\tau (x+y)^{r-i}(x-y)^i=(r-2i)(x+y)^{r-i}(x-y)^i\mbox{��}$$

\noindent ���仰��˵, �ռ� $E_r$ �е����� 
$(x+y)^{r-i}(x-y)^i, i=0,1,\ldots ,r,$                  
������������ $T_1$ ������������������ǵõ�

\vspace{0.2in} 

  �������� $0\leq i\leq r$ ��

$$(x+y)^{r-i}(x-y)^i=\sum _{j=0}^r\alpha _{ij}x^{r-j}y^j,$$


\noindent ��ô, ���˴�������֮��, Ԫ��

$$f_i\ =\ \sum _{j=0}^r\alpha _{ij}T_j$$

\noindent ��Ϊ���� $E_r$ �е����еı�ԭ�ݵ�Ԫ�ء�

    ��Ϊ����, ���ǽ���һ�����������ᵽ�Ĵ�������������, ������Ⱥ����
${\bf Q}W$ �����ǹ������е�Ԫ��:

$$n_i\ =\ \prod _{i=1}^{r-i}[1+(-j)]\prod _{j=r-i+1}^r[1-(-j)];$$


\noindent ��������

$$f_i\ =\ \sum_{w\in W_{K'}}wn_i\sigma _0\mbox{��}$$


\noindent �ֿɵó�

$$f_i^2\ =\ \sum _{w\in W_{K'}}wn_i\sum_{w'\in W_{K'}}w'n_i\sigma _0$$
$$=\ \sum _{w\in W_{K'}}w\sum_{w'\in W_{K'}}n_iw'n_iw'^{-1}\sigma _0\mbox{��}$$


\noindent �׼���ԭ�ݵ�Ԫ $\frac{1}{2^r}n_i$ ��Ӧ�ڻ���������Ⱥ               
$<(-j)|\ 1\leq j\leq r >$ �Ĳ���Լ������

$$(-j)\mapsto \left\{\begin{array}{l}
1 \mbox{ �� } 1\leq j\leq r-i\\
-1\mbox{ �� } r-i+1\leq j\leq r
\end{array}\mbox{��}\right.$$


\noindent ����

$$n_iw'n_iw'^{-1}\ =\  \left\{\begin{array}{l}
2^rn_i\mbox{ �� }w'n_iw'^{-1}=n_i\\
0\mbox{ �� }w'n_iw'^{-1}\not= n_i
\end{array}\mbox{��}\right.$$

\noindent ��ΪԪ�� $n_i$ ��Ⱥ $W_{K'}$ �е��ȶ����ӵĽ�Ϊ $(r-i)!i!$ �����ƶ�

$$f_i^2\sigma _0\ =\ 2^r(r-i)!i!f_i\sigma _0\ =\ \frac{r!2^r}{{r\choose i }}f_i
\sigma _0,$$

\noindent ��� $\frac{{r\choose i}}{r!2^r}f_i$ ΪҪ��ı�ԭ�ݵ�Ԫ�ء�

\vspace{0.75in}
\begin{center}
��  ��  ��  ��
\end{center}
\vspace{0.25in}
\begin{description}
\item{[1]} {\sl A. Bj\"orner}, Some combinatorial and algebraic properties
of 
Coxeter complexes and Tits buildings,  Report No. 3, Univ. Stockholm Dept. 
of Math, 1982.

\item{[2]}  {\sl D. B. Surowski}, A reflection sieve for 
BN-pairs of types $A_n,
\ B_n$ and $C_n$, 
{\em J.  Algebra} {\bf 73} (1981), 538-551.

\item{[3]} {\sl D. B. Surowski}, A family of homology 
representations of finite
groups of type $B_n$, 
{\em J.  Algebra} Vol. 103, No. 1 (1986), 538-551.

\end{description}
\endchinese
\end{large} \end{document}



    




