Притягивающая неподвижная точка и орбита с периодом 2

Уравнение главной кардиоиды

У квадратичного отображения всегда есть две неподвижные точки z = f(z)
    f(z) - z = z2 + c - z = 0,   (1)
    z1,2 = 1/2 ∓ (1/4 - c)½.      (2)
Неподвижная точка устойчива, если для мультипликатора λ = f '(z) = 2z выполняется условие
    |λ| < 1,     |z| < 1/2
т.е. z лежит внутри окружности u = ½ exp(iφ). Мультипликатор на этой окружности равен
    λ = exp(iφ).     (3)
Из (1) следует, что c = z - z2 и неповижная точка z1 устойчива внутри кардиоиды
    c = u - u2 = ½ exp(iφ) - ¼ exp(2iφ),
    Re(c) = ½ cos(φ) - ¼ cos(2φ),
    Im(c) = ½ sin(φ) - ¼ sin(2φ).

Мы выбираем ветку квадратного корня с положительной вещественной частью, поэтому вторая неподвижная точка z2 всегда неустойчива и лежит в множестве Жулиа. Очень часто это самая правая точка J (правда это не выполняется для "цветной капусты").

"Квадратичная" параметризация множества Мандельброта

Можно получить полезную параметризацию множества Мандельброта, если положить
    c = 1/4 - a2.     (4)
Т.к. a2 = (-a)2, то множество симметрично относительно a = 0. Подставляя (4) в (2) получим:
    z = 1/2 ± a.
z устойчива если |1/2 ± a| < 1/2, т.е. a лежит в одной из окружностей
    ½ e ± 1/2 .

Т.о. подстановка (4) преобразует главную кардиоиду в окружности.

Теория внутренних углов

Из (3) следует, что если притягивающая неподвижная точка лежит около ½ exp(i2πm/n), то в ее окрестности при итерациях отображения все точка смещается на угол φ = 2πm/n и когда после бифуркации неподвижная точка теряет устойчивость образуется притягивающий цикл с периодом n. На главной кардиоиде этому соответствует "лист" с координатами
    cφ = ½ e - ¼ e2iφ
или в "квадратичной" параметризации
    aφ = ½ e - 1/2 .
Поэтому aφ лежит на окружности с радиусом r = 1/2 и образует угол 2πm/n с вещественной осью.

Орбита с периодом 2

Для орбиты с периодом-2 мы получаем уравнение
    zo = f o2(zo ) = f(f(zo )),
    (zo2 + c)2 + c - zo = (zo2 + c - zo )(zo2 + zo + c + 1) = 0.

Корни первого сомножителя - две неподвижные точки z1,2 . У второго сомножителя два корня
    z3,4 = -1/2 ± (-3/4 - c)½,
которые образуют орбиту с периодом 2. Т.к. z3 z4 = c + 1, то мультипликатор орбиты
    λ = f '(z3 ) f '(z4 ) = 4z3 z4 = 4(c + 1).
Т.о. орбита притягивающая, если |c + 1| < 1/4, т.е. c лежит внутри окружности ¼ exp(iφ) - 1. Это уравнение самого большого 1/2-листа налево от главной кардиоды.

Т.о. главная кардиоида и 1/2-лист касаются друг друга в точке z = -3/4.
Направо показано положение точек z1-4 при c1 = -0.71 + 0.1i (внутри главной кардиоиды). Два корня z3 , z4 симметричны относительно z = -1/2.


Содержание   « Спиральные структуры в множестве Жулиа   » Касательные бифуркации
updated 28 ноября 2013