Притягивающая неподвижная точка и орбита с периодом 2
Уравнение главной кардиоиды
У квадратичного отображения всегда есть две неподвижные точки
z∗ = f(z∗ )
f(z∗ ) - z∗ =
z∗2 + c - z∗ = 0,
(1)
z1,2 = 1/2 ∓ (1/4 - c)½.
(2)
Неподвижная точка устойчива, если для мультипликатора
λ = f '(z∗ ) =
2z∗ выполняется условие
|λ| < 1,
|z∗| < 1/2
т.е. z∗ лежит внутри окружности
u = ½ exp(iφ). Мультипликатор на этой окружности равен
λ = exp(iφ). (3)
Из (1) следует, что
c = z∗ - z∗2
и неповижная точка z1 устойчива внутри кардиоиды
c = u - u2 = ½ exp(iφ)
- ¼ exp(2iφ),
Re(c) = ½ cos(φ) - ¼ cos(2φ),
Im(c) = ½ sin(φ) - ¼ sin(2φ).
Мы выбираем ветку квадратного корня с положительной вещественной частью,
поэтому вторая неподвижная точка z2 всегда неустойчива
и лежит в множестве Жулиа. Очень часто это самая правая точка J
(правда это не выполняется для "цветной капусты").
"Квадратичная" параметризация множества Мандельброта
Можно получить полезную параметризацию множества Мандельброта,
если положить
c = 1/4 - a2. (4)
Т.к. a2 = (-a)2, то множество симметрично
относительно a = 0. Подставляя (4) в (2) получим:
z∗ = 1/2 ± a.
z∗ устойчива если
|1/2 ± a| < 1/2, т.е. a лежит
в одной из окружностей
½ eiφ ± 1/2 .
Т.о. подстановка (4)
преобразует главную кардиоиду в окружности.
Теория внутренних углов
Из (3) следует, что если притягивающая неподвижная точка лежит около
½ exp(i2πm/n), то в ее окрестности при
итерациях отображения все точка смещается на угол φ = 2πm/n
и когда после бифуркации неподвижная точка теряет устойчивость
образуется притягивающий цикл с периодом n.
На главной кардиоиде этому соответствует "лист" с координатами
cφ =
½ eiφ - ¼ e2iφ
или в "квадратичной" параметризации
aφ =
½ eiφ - 1/2 .
Поэтому aφ лежит на окружности
с радиусом r = 1/2 и образует угол 2πm/n
с вещественной осью.
Орбита с периодом 2
Для орбиты с периодом-2 мы получаем уравнение
zo =
f o2(zo ) = f(f(zo )),
(zo2 + c)2 + c -
zo = (zo2 + c -
zo )(zo2 + zo + c + 1) = 0.
Корни первого сомножителя - две неподвижные точки
z1,2 .
У второго сомножителя два корня
z3,4 =
-1/2 ± (-3/4 - c)½,
которые образуют орбиту с периодом 2.
Т.к. z3 z4 = c + 1,
то мультипликатор орбиты
λ = f '(z3 ) f '(z4 ) =
4z3 z4 = 4(c + 1).
Т.о. орбита притягивающая, если |c + 1| < 1/4,
т.е. c лежит внутри окружности ¼ exp(iφ) - 1.
Это уравнение самого большого 1/2-листа налево от главной
кардиоды.
Т.о. главная кардиоида и 1/2-лист касаются друг друга
в точке z = -3/4.
Направо показано положение точек z1-4 при
c1 = -0.71 + 0.1i (внутри главной кардиоиды).
Два корня z3 , z4 симметричны
относительно z = -1/2.
Содержание
« Спиральные структуры в множестве Жулиа
» Касательные бифуркации
updated 28 ноября 2013