Отображение Эно

Из необратимого квадратичного отображения можно построить обратимое двумерное отображение Эно (Henon map)
    x' = a + x2 + by,
    y' = x
.
Легко найти обратное отображение
    x = y',
    y = (x' - y' 2 - a)/b
.
Отображение сжимающее для |b| < 1. Все ограниченные притягивающие орбиты лежат в этом интервале и аттрактор обладает нулевой площадью.
Отображение можно представить как последовательность трех простых операций:
однородного сжатия в b раз в направлении оси y (слева сжатие опущено, т.е. b = 1)
    x' = x,     y' = by,
деформации в этом же направлении
    x' = x,     y' = a + x2 + y
и отражении относительно диагонали y = x
    x' = y,     y' = x.

Подкова Смейла

Ниже показано, как отображение Эно f N переводит квадратную область с вершинами (±3.9, ±3.9) в покову Смэйла. После второй итерации получается двойная подкова. Обратное отображение (при N < 0) переводит квадрат в вертикальную подкову. Точки инвариантного множества (которые не уходят на бесконечность и всегда остаются внутри квадрата) лежат в пересечении двух трансверсальных подков. При каждой последующей итерации внутри любой области пересечения возникает четыре новых пересечения (нажмите кнопку "+", чтобы убедиться в этом). При N → ∞ образуется фрактальный канторов репеллер.
Щелкните мышкой с <Alt>/<Ctrl>, чтобы изменить масштаб картинки.

Устойчивые и неустойчивые многообразия и гомоклинические структуры

Для гиперболической неподвижной точки можно построить устойчивое Ws и неустойчивое Wu многообразия, состоящие изо всех точек, которые при итерациях отображения стремятся к ней при N → ∞ и -∞ соответственно. В двумерном случае это седловая точка и две идущие к ней устойчивые и две выходящие из нее неустойчивые сепаратрисы.

Т.к. любая область неподвижной точки растягивается при итерациях отображения вдоль неустойчивого многообразия и сжимается в трансверсальном направлении, то качестенно за неустойчивыми сепаратрисами можно проследить, если наблюдать за этой эволюцией. Чтобы построить устойчивые сепаратрисы следует итерировать обратное отображение. Ниже вы видите результаты N итераций окрестности (радиуса R) неподвижной точки x1 отображения Эно. С помощью мышки и квадрата легко убедиться, что устойчивые сепаратрисы окрашены в синий цвет, а неустойчивые в красный.

Пусть устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекается в некоторой гомоклинической точке go . Эта точка лежит на устойчивом многообразии и ее итерации сходятся к седлу. Т.к. эта орбита проходит через g1 = f(go ), то эта точка также лежит на ws . При итерациях обратного отображения орбита go стремится к седлу вдоль неустойчивого многообразия. Т.к. g1 = f-1(go ), то при итерациях обратного отображения она также будет стремиться к x1 . Т.е. g1 лежит на нейстойчивой сепаратрисе и является пересечением ws и wu . Поэтому имеется бесконечное множество пересечений g2 , g3 ...

Чтобы сделать это утверждение более строгим, покажем, что присутствие гомоклинической структуры свидетельствует о наличии у отображения подковы Смейла.
Пусть у отображения есть гомоклиническая точка go . Выберем некоторую область D вокруг седла. A = f ok(D) будет растягиваться вдоль неустойчивой сепаратрисы и при некотором k достигнет гомоклинической точки. Аналогично, область B = f -om(D) будет растягиваться вдоль устойчивой сепаратрисы и также достигнет go . Поэтому f -o(k+m) переводит область A в B и задает отображение подковы, как это показано на рисунке. Точки пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий двух разных гиперболических точек называются гетероклиническими. Для них также строится отображение подковы и фрактальные странные множества.


Содержание   «Подкова Смейла   »Бифуркационная диаграмма
изменено 25 июня 2007