Т.к. любая область неподвижной точки растягивается при итерациях отображения вдоль неустойчивого многообразия и сжимается в трансверсальном направлении, то качестенно за неустойчивыми сепаратрисами можно проследить, если наблюдать за этой эволюцией. Чтобы построить устойчивые сепаратрисы следует итерировать обратное отображение. Ниже вы видите результаты N итераций окрестности (радиуса R) неподвижной точки x1 отображения Эно. С помощью мышки и квадрата легко убедиться, что устойчивые сепаратрисы окрашены в синий цвет, а неустойчивые в красный.
Пусть устойчивая и неустойчивая сепаратрисы пересекается в некоторой гомоклинической точке go . Эта точка лежит на устойчивом многообразии и ее итерации сходятся к седлу. Т.к. эта орбита проходит через g1 = f(go ), то эта точка также лежит на ws . При итерациях обратного отображения орбита go стремится к седлу вдоль неустойчивого многообразия. Т.к. g1 = f-1(go ), то при итерациях обратного отображения она также будет стремиться к x1 . Т.е. g1 лежит на нейстойчивой сепаратрисе и является пересечением ws и wu . Поэтому имеется бесконечное множество пересечений g2 , g3 ...Чтобы сделать это утверждение более строгим, покажем, что присутствие
гомоклинической структуры свидетельствует о наличии у отображения подковы
Смейла.
Пусть у отображения есть гомоклиническая точка go .
Выберем некоторую область D вокруг седла. A = f ok(D)
будет растягиваться вдоль неустойчивой сепаратрисы и при некотором
k достигнет гомоклинической точки. Аналогично, область
B = f -om(D) будет растягиваться вдоль устойчивой сепаратрисы
и также достигнет go . Поэтому f -o(k+m)
переводит область A в B и задает отображение подковы, как это
показано на рисунке.
Точки пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий двух разных
гиперболических точек называются гетероклиническими. Для них также
строится отображение подковы и фрактальные странные множества.