Подкова Смейла и странные репеллеры
Двумерный канторов репеллер
Легко получить обобщение отображения пекаря, если "раскатывать" единичный
квадрат в 3 раза, разрезать на 3 части и складывать их друг на друга.
Динамика такого отображения описывается сдвигом бесконечной в обе стороны
последовательности, составленной из цифр 0, 1 и 2.
Чтобы получить двумерный канторов репеллер, на каждой итерации будем
выбрасывать среднюю треть растянутого квадрата. При итерациях отображения
почти все точки покидают квадрат. Остающееся инвариантное множество
отображения (т.е. множество, которое переводится им в себя) имеет нулевую
меру.
После первой итерации точки множества могут находиться только
на пересечении двух горизонтальных полос 0, 2 и двух вертикальных
полос 0 -1, 2 -1 (это прообразы 0, 2 из
которых последние были получены). После второй итерации инвариантное множество
будет находиться на пересечении четырех горизонтальных (голубых) полос и четырех
их прообразов (желтых вертикальных полос). В пределе мы получим двумерное
канторово множество, точки которого задаются координатами
x = 0. S1 S2 S3 ...
y = 0. S0 S-1 S-2 ... ,
где Sk = 0 или 2. Динамика на инвариантном
множестве задается сдвигами относительно точки с запятой последовательности
... S-2, S-1, S0 ;
S1, S2, ...
Отображение "подкова Смейла"
Разрывное отображение пекаря не очень реалистично, но оно легко превращается
в непрерывное отображение "подкова Смейла", если растянутый квадрат просто
сложить, как это показано на рисунке. Это отображение отличается от
модифицированного отображения пекаря только переворотом правой трети
растянутого квадрата. Очевидно, что его инвариантное множество будет
фрактальным репеллером с нулевой мерой. Оно содержит счетное множество
неустойчивые периодических орбит и континуум хаотических траекторий.
Динамика снова будет описываться сдвигами, но из-за переворота правого отрезка,
она должна напоминать динамику отображения тент. Присутствие подковы в
нелинейном отображении свидетельствует о наличии у него области (возможно
отталкивающей) со сложной хаотической динамикой.
Содержание
«Отображение пекаря
»Отображение Эно
изменено 17 июня 2007