Отображение пекаря

Отбрасывание старшего символа последовательности при сдвиге Бернулли делает отображение пилы необратимым. Чтобы получить обратимое отображение достаточно взять бесконечную в обе стороны последовательность бинарных символов
    ... S-2, S-1, S0 ; S1, S2, ...
которую теперь можно двигать влево и вправо относительно точки с запятой.
Сопоставим этой последовательности два вещественных числа
    x = 0. S1 S2 S3 ...     y = 0. S0 S-1 S-2 ...
Нетрудно проверить, что при сдвиге символической последовательности влево получаются новые значения
    x' = 2x mod 1
    y' = 1/2 (y + [2x])

где [x] означает целую часть x. Это преобразование единичного квадрата в себя называется отображением пекаря (baker's map). Преобразование состоит из однородного сжатия квадрата в 2 раза в вертикальном направлении и растяжения в горизонтальном. Далее правую половину следует отрезать и положить на левую. Действие двух первых его итераций показано на Fig.1.

Неустойчивые периодические орбиты

Как и для отображения пилы по символической последовательности легко находятся периодические орбиты отображения. Так символическим последовательностям состоящим из 0 и 1 соответствуют неподвижные точки (x, y) = (0, 0) и (1, 1). Периодической последовательности (10) соответствует орбита из двух точек (1/3, 2/3) и (2/3, 1/3). Наконец, из последовательности ...001;001... получаем орбиту (1/7, 4/7), (2/7, 2/7), (4/7, 1/7), а из ...011;011... орбиту (3/7, 6/7), (6/7, 3/7), (5/7, 5/7) с периодом 3.

Любые x и y можно сколь угодно точно аппроксимировать двоичными последовательностями 0.Xo...Xn и 0.Yo...Ym, где n и m достаточно велики. Поэтому периодическая последовательность (Ym ...Yo Xo ...Xn ) пройдет сколь угодно близко к любой точке квадрата. Т.е. неустойчивые периодические орбиты образуют всюду плотное множество.

Перемешивание и хаотические траектории

Т.к. отображение состоит из растяжения вдоль оси x и сжатия вдоль y, то близкие траектории экспоненциально расходятся в горизонтальном направлении и сближаются в вертикальном. Как и для отображения пилы, из случайной символической последовательности строится хаотическая траектория, которая проходит сколь угодно близко к каждой точке квадрата (эргодичность).

Очевидно, что под действием отображения любая выбранная область будет превращаться в совкупность узких горизонтальных полос, которая через некоторое число итераций равномерно покроет единичный квадрат (перемешивание). Преобразование обратимо, при итерациях в обратном направлении любая область будет разбиваться на узкие вертикальные полоски и также перемешается по всему квадрату.


Содержание   «Отображение окружности   »Подкова Смейла и странные репеллеры
изменено 29 ноября 2005