Канторов репеллер

На рисунке показано, как классическое множество Кантора появляется в динамике отображения тент fc(x) при c = 3. Легко убедиться, что при x > 1 итерации уходят в -∞. Как видно из рисунка, на первой итерации отображения выпадает открытый интервал (1/3,2/3), а два интервала [0,1/3] и [2/3,1] линейно отображаются в [0,1]. Повторяя этот процесс до бесконечности мы будем каждый раз вырезать центральную 1/3 из оставшихся на предыдущем шаге интервалов (несколько первых шагов показаны на рисунке). В результате мы получим фрактальное множество Кантора. Суммарная длина вырезанных интервалов
    1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1/3 ∑n=0,∞ (2/3)n = 1/3 [1 / (1-2/3)] = 1,
т.о. мера Лебега (площадь) классического множества Кантора равна нулю. Его фрактальная размерность log2 / log3. Множество Кантора с нулевой мерой появляется в отображении тент при любом c > 2.

Очевидно, что в троичной системе счисления после первой итерации выпадают все числа вида 0.1... Поэтому множество Кантора образуется троичными числами, без цифры 1. Заменяя цифры 2 → 1 видим, что это континуум. Как и ранее, рациональным числам соответствуют неустойчивые периодические орбиты. Для бесконечной случайной последовательности цифр 0 и 2 получаем хаотическую орбиту.


Содержание   «Динамика отображения тент   »Итерации квадратичного отображения
изменено 1 янв 2014