Канторов репеллер
На рисунке показано, как классическое множество Кантора появляется в
динамике отображения тент fc(x) при c = 3.
Легко убедиться, что при x > 1 итерации уходят в -∞.
Как видно из рисунка, на первой итерации отображения выпадает открытый интервал
(1/3,2/3), а два интервала [0,1/3] и [2/3,1] линейно
отображаются в [0,1]. Повторяя этот процесс до бесконечности мы будем
каждый раз вырезать центральную 1/3 из оставшихся на предыдущем шаге интервалов
(несколько первых шагов показаны на рисунке). В результате мы получим
фрактальное множество Кантора.
Суммарная длина вырезанных интервалов
1/3 + 2/9 + 4/27 + ... = 1/3
∑n=0,∞
(2/3)n = 1/3 [1 / (1-2/3)] = 1,
т.о. мера Лебега (площадь) классического множества Кантора равна нулю.
Его фрактальная размерность log2 / log3. Множество Кантора с нулевой
мерой появляется в отображении тент при любом c > 2.
Очевидно, что в троичной системе счисления после первой итерации выпадают
все числа вида 0.1... Поэтому множество Кантора образуется троичными
числами, без цифры 1. Заменяя цифры 2 → 1 видим, что это
континуум. Как и ранее, рациональным числам соответствуют неустойчивые
периодические орбиты. Для бесконечной случайной последовательности цифр
0 и 2 получаем хаотическую орбиту.
Содержание
«Динамика отображения тент
»Итерации квадратичного отображения
изменено 1 янв 2014