Динамика отображения тент

Рассмотрим динамику непрерывного отображения тент fc(x)
    f(x) = { cx ,
c(1 - x)
,  
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 < x ≤ 1
при c = 2. Как и для отображения зуб пилы, умножение x на 2 соответствует сдвигу двоичного числа на один разряд влево. Если перед сдвигом старший разряд b1 = 1 (т.е. x ≥ 1/2), то (замечая, что 2 = 1.111...2 = 1.(1)2 ) получаем после сдвига
    f(x) = 2 - 2x = 1.111... - 1.b2 b3 b4 ... = 0.u2 u3 u4 ... .
где uk = 1 - bk инвертированный бит bk. Т.о. после сдвига старший бит снова отбрасывается, но если он равен 1, то все оставшиеся биты инвертируются. Очевидно, что символическая последовательность σ = (s1, s2, s3 ...) образуется из отброшенных старших разрядов.

Перевод символической последовательности в координату X

Для получения обратного преобразования символической последовательности в координату удобно сначала перекодировать биты x с помощью замены 0 → 1 и 1 → -1. Тогда при умножении всех битов числа на 1 оно не изменяется, а при умножении на -1 биты инвертируются. Поэтому, например, при первом сдвиге все биты числа необходимо умножить на p1. Динамику отображения можно представить в виде
0 . p1   p2   p3   p4 ...
s1= p1 . (p1 p2 )   (p1 p3 )   (p1 p4 ) ...
s2= p1 p2 . (p1 p2 p1 p3 )   (p1 p2 p1 p4 ) ...   или учитывая, что pk2 = 1
. (p2 p3 )   (p2 p4 ) ...
s3= p2 p3 . (p3 p4 )   (p3 p5 ) ...
...
sn= pn-1 pn   . (pn pn+1 )   (pn pn+2 ) ...
Отсюда следует формула для n-го члена символической последовательности
    sn = pn-1 pn .
Умножая это выражение на pn-1 получим формулу
    pn = sn pn-1 ,   p1 = s1 ,
которая позволяет рекуррентно получить x по символической последовательности. Наконец, нетрудно убедиться, что в обычных обозначениях это правило выглядит так
    bn = { bn-1
1 - bn-1
 
if   sn = 0
if   sn = 1
Так, например, символической последовательности σ = (1) соответствует неустойчивая неподвижная точка x1 = 0.(10) = 102 /112 = 2/3. Для орбиты с периодом 2 и σ = (01) получим x1 = 0.(0110) = 01102 /11112 = 2/5 и x2 = 0.(1100) = 11002 /11112 = 4/5.

Теперь вы можете самостоятельно повторить всю "историю" про хаос, которая была рассказана для отображения зуб пилы. Далее она повторится для квадратичного отображения в точке кризиса.


Содержание   «Отображение "зуб пилы"   »Канторов репеллер
изменено 1 янв 2014