Динамика отображения тент
Рассмотрим динамику непрерывного отображения тент
fc(x)
|
f(x) =
|
{
|
cx ,
c(1 - x) ,
|
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 < x ≤ 1
|
при c = 2. Как и для отображения зуб пилы,
умножение x на 2 соответствует сдвигу двоичного числа на один
разряд влево. Если перед сдвигом старший разряд b1 = 1
(т.е. x ≥ 1/2), то (замечая, что
2 = 1.111...2 = 1.(1)2 ) получаем после сдвига
f(x) = 2 - 2x = 1.111... -
1.b2 b3 b4 ... =
0.u2 u3 u4 ... .
где uk = 1 - bk инвертированный бит
bk. Т.о. после сдвига старший бит снова отбрасывается,
но если он равен 1, то все оставшиеся биты инвертируются.
Очевидно, что символическая последовательность
σ = (s1, s2, s3 ...)
образуется из отброшенных старших разрядов.
Перевод символической последовательности в координату X
Для получения обратного преобразования символической последовательности в
координату удобно сначала перекодировать биты x с помощью замены
0 → 1 и 1 → -1. Тогда при умножении всех битов
числа на 1 оно не изменяется, а при умножении на -1 биты
инвертируются. Поэтому, например, при первом сдвиге все биты числа необходимо
умножить на p1. Динамику отображения можно представить
в виде
0 | . |
p1 p2 p3
p4 ...
|
s1= p1 | . |
(p1 p2 ) (p1 p3 )
(p1 p4 ) ...
|
s2= p1 p2 | . |
(p1 p2 p1 p3 )
(p1 p2 p1 p4 ) ...
или учитывая, что pk2 = 1
|
| . |
(p2 p3 )
(p2 p4 ) ...
|
s3= p2 p3 | . |
(p3 p4 ) (p3 p5 ) ...
|
...
|
sn= pn-1 pn | . |
(pn pn+1 ) (pn pn+2 )
...
|
Отсюда следует формула для n-го члена символической последовательности
sn = pn-1 pn .
Умножая это выражение на pn-1 получим формулу
pn = sn pn-1 ,
p1 = s1 ,
которая позволяет рекуррентно получить x по символической
последовательности. Наконец, нетрудно убедиться, что в обычных обозначениях
это правило выглядит так
|
bn =
|
{
|
bn-1
1 - bn-1
|
if sn = 0
if sn = 1
|
Так, например, символической последовательности σ = (1)
соответствует неустойчивая неподвижная точка
x1 = 0.(10) = 102 /112 = 2/3.
Для орбиты с периодом 2 и σ = (01) получим
x1 = 0.(0110) = 01102 /11112 = 2/5 и
x2 = 0.(1100) = 11002 /11112 = 4/5.
Теперь вы можете самостоятельно повторить всю "историю" про хаос,
которая была рассказана для отображения зуб пилы. Далее она повторится
для квадратичного отображения в точке кризиса.
Содержание
«Отображение "зуб пилы"
»Канторов репеллер
изменено 1 янв 2014