Периодические и препериодические точки в множестве Мандельброта

На этой "технической" страничке дано определение периодических и препериодических точкек (точек Мисюревича), а также несколько примеров.

Периодические точки

Точка c в множестве Мандельброта называется периодической с периодом n, если ее критическая орбита периодична с периодом n. Т.е. gn(c) ≡ fcon(0) = 0 (налево вы видите суперустойчивую орбиту с периодом 3). Например:

    g1(c) = fc(0) = c = 0,
    c1 [1
на рисунке ниже] = 0,

    g2(c) = fco2(0) = c2 + c = c (c + 1) = 0,
    c1 = 0,   c2 [2] = -1
,

    g3(c) = fco3(0) = (c2 + c)2 + c = c (c3 + 2c2 + c + 1) = 0,
    c1 = 0,   c2 [3a] = -1.75488,   c3 [3b] = c4* = -0.122561 + 0.744862i,

    g4(c) = fco4(0) = 0,
    c1 = 0,   c2 = -1,   c3 [4a] = -1.9408,   c4 [4b] = -1.3107,
    c5 [4c] = c6* = -0.15652 + 1.03225i,   c7 [4d] = c8* = 0.282271 + 0.530061i
.

Препериодические точки в множестве Мандельброта

Точка Mk,n в M препериодическая (Misiurewicz point) с периодом n, если ее критическая точка становится периодической с периодом n через k шагов. Препериодические точки Mk,n являются корнями уравнения
    fcok(0) = fco(k+n)(0)   или   gk(c) = gk+n (c).
Неподвижная точка z = 1/2 ∓ (1/4 - c)½ (т.е. орбита с периодом 1) имеет мультипликатор λ = 2z = 1 ∓ (1-4c)½. Поэтому мультипликатор препериодической точки Mk,1 равен
    λ = 1/2 - (1/4 - Mk,1 )½.
Знак плюс соответствует единственной точке M2,1 = -2 (кончик антенны множества Мандельброта или точка кризиса) с мультипликатором λ = 4. Мультипликатор орбиты с периодом 2 равен λ2 = 4(c + 1) поэтому для Mk,2 получим
    λ2 = 4(Mk,2 + 1).
Например критические орбиты M2,1 = -2 и M2,2 = i
    (0, -2, 2, 2,...)   и   (0, i, i-1, -i, i-1, -i...)
соответственно. Обе орбиты неустойчивые с мультипликаторами
    λ(-2) = 4   и   λ(i) = 4(1 + i)
модули которых больше 1. Препериодические точки лежат на границе M. Ниже приведены некоторые препериодические точки с периодом 1.
num  kc|λ|Arg(λ)o
12-240
23-1.543691.67857180
3   3   -0.22816+1.11514i   3.08738   -23.126
44-1.892911.92774180
54-1.29636+0.44185i3.52939-5.7209
64-0.10110+0.95629i1.32833119.553
740.34391+0.70062i2.45805-30.988

Вещественные препериодические точки

g12345 Для вещественных c полиномы g1,2,...,5(c) показаны на Fig.1. Вещественные периодические точки являются корнями этих полиномов. Пересечение двух кривых gk(c) = gk+n(c) соответствует препериодической точке Mk,n (показаны M2,1 и M3,1). Fig.1 позволяет визуально определить периодические и препериодические точки.
Содержание   «Волосатые карлики   »Точки Мисюревича и самоподобие множества Мандельброта
updated 29 ноября 2013