Точки Мисюревича и самоподобие множества Мандельброта
Douglas C. Ravenel

Примеры M в окрестности точек Мисюревича. Препериодические точки расположены в центре рисунков. Каждый последующий рисунок растянут в 4, 3 и 1.3283 = 2.34 раз соответственно. Указаны также периоды некоторых периодических точек.
На последних рисунках угол симметрии вращения близок к 120o. Как вы видите, препериодические точки обьясняют симметрию главной антенны множества Мандельброта.

Рисунки имеют следующие общие особенности [1]:

Теорема Пусть co - препериодическая точка с периодом 1, h - ее неподвижная точка, а cn - ближайшая периодическая точка с периодом n. Тогда при n → ∞
    (cn - c0 )/(cn+1 - c0 ) → λ = 2h.
Доказательство: Воспользуемся методом Ньютона для нахождения корня уравнения   fCnon(0) = 0   для периодической точки cn около co . Если (cn - co ) достаточно мало, то
    fCnon(0) = fCo+(Cn-Co)on(0) = fCoon(0) + (cn - co ) d/dc fCon(0) |C=Co = 0
(мы не будем доказывать применимость приближения). Обозначим
    dn = d/dc fCon(0) |C=Co .
Т.к. co - препериодическая с периодом 1, то fCoon(0) = h для достаточно больших n, поэтому
    cn - co = - h/dn .
Т.к. fCo(n+1)(0) = [fCon(0)]2 + c, то для больших n
    dn+1 = 2 h dn + 1
и
    (cn - co )/(cn+1 - co ) = (h/dn )/(h/dn+1 ) = dn+1 /dn = 2h + 1/dn .
стремится к 2h при n → ∞, т.к. dn становится сколь угодно большим при больших n.

[1] Douglas C. Ravenel Fractals and computer graphics


Содержание   « Периодические и препериодические точки   » Подобие множеств Мандельброта и Жулиа
updated 29 ноября 2013