Точки Мисюревича и самоподобие
множества Мандельброта
Douglas C. Ravenel
Примеры M в окрестности
точек Мисюревича.
Препериодические точки расположены в центре рисунков.
Каждый последующий рисунок растянут в 4, 3 и
1.3283 = 2.34 раз соответственно.
Указаны также периоды некоторых периодических точек.
На последних рисунках угол симметрии вращения близок к 120o.
Как вы видите, препериодические точки обьясняют симметрию главной антенны
множества Мандельброта.
Рисунки имеют следующие общие особенности [1]:
- Препериодические точки лежат на границе M.
- Рисунки приблизительно самоподобны относительно
сжатия в |λ| раз и вращения на угол
Arg(λ). Точность растет с увеличением.
Углы вращения равны соответственно 0, -23.1256 и
119.553 градусов.
- К препериодической точке сходится последовательность
уменьшающихся M-карликов. Каждяй содержит периодическую
точку (см. теорему ниже). При сжатии рисунка в λ
раз M-карлики сжимаются в λ2 раз
и быстро "исчезают".
Теорема Пусть co - препериодическая
точка с периодом 1, h - ее неподвижная точка, а
cn - ближайшая периодическая точка с периодом n.
Тогда при n → ∞
(cn - c0 )/(cn+1 -
c0 ) → λ = 2h.
Доказательство:
Воспользуемся методом Ньютона для нахождения корня уравнения
fCnon(0) = 0
для периодической точки cn около co .
Если (cn - co ) достаточно мало, то
fCnon(0) =
fCo+(Cn-Co)on(0) = fCoon(0) +
(cn - co ) d/dc
fCon(0) |C=Co = 0
(мы не будем доказывать применимость приближения).
Обозначим
dn = d/dc
fCon(0) |C=Co .
Т.к. co - препериодическая с периодом 1, то
fCoon(0) = h для достаточно больших n,
поэтому
cn - co = - h/dn .
Т.к.
fCo(n+1)(0) = [fCon(0)]2
+ c, то для больших n
dn+1 = 2 h dn + 1
и
(cn - co )/(cn+1 -
co ) = (h/dn )/(h/dn+1 ) =
dn+1 /dn = 2h + 1/dn .
стремится к 2h при n → ∞, т.к.
dn становится сколь угодно большим при больших n.
[1] Douglas C. Ravenel
Fractals and computer graphics
Содержание
« Периодические и препериодические точки
» Подобие множеств Мандельброта и Жулиа
updated 29 ноября 2013