Подобие множеств Мандельброта и Жулиа. Теорема Ли.
Douglas C. Ravenel

Ниже показаны множества Жулиа J(co ), соответствующие препериодическим точкам co в окрестности z = co . Для сравнения под ними приведены соответствующие области множества Мандельброта.

J отличаются от соответствующих M тем, что они не содержат черных областей. С другой стороны M-карлики быстро исчезают при приближении к препериодической точке.

Эта локальная симметрия между множествами Мандельрота и Жулиа составляет содержание теоремы Tan Lei.

Приведем объяснения [1] для препериодической точки co с периодом 1. Для малых ε
    fCo+εo(n+1)(0) = fCo+εon(co + ε)
    = fCoon(co ) + ( d/dc fCon(0) |C=Co + d/dz fCoon(z) |z=Co ) ε + O(ε2)
    = fCoon(co + knε) + O(ε2)
,
где
    kn = ( d/dc fCon(co ) |C=Co + d/dz fCoon(z) |z=Co ) / d/dz fCoon(z) |z=Co .
Так как
    d/dc fCo(n+1)(co ) |C=Co = 2 hn d/dc fCon(co ) |C=Co + 1 ,
    d/dz fCoo(n+1)(z) |z=Co = 2 hn d/dz fCoon(z) |z=Co ,     hn = fCoon(co )

и hn → h при больших n, то можно показать, что kn сходится к конечному k.
Уравнение
    fCo+εo(n+1)(0) = fCoon(co + kε) + O(ε2)
означает, что для малого ε   (n+1)-ая точка на критической орбите c = co может быть апроксимирована n-ой точкой орбиты точки z = co+kε . Это объясняет локальную симметрию множеств Мандельрота и Жулиа.

[1] Douglas C. Ravenel Fractals and computer graphics


Содержание   « Точки Мисюревича и самоподобие множества Мандельброта   » Карлики Жулиа в множестве Мандельброта
updated 29 ноября 2013