Ниже показаны множества Жулиа J(co ), соответствующие препериодическим точкам co в окрестности z = co . Для сравнения под ними приведены соответствующие области множества Мандельброта.
Эта локальная симметрия между множествами Мандельрота и Жулиа составляет содержание теоремы Tan Lei.
Приведем объяснения [1] для препериодической точки
co с периодом 1. Для малых ε
fCo+εo(n+1)(0) =
fCo+εon(co + ε)
= fCoon(co ) + (
d/dc fCon(0) |C=Co +
d/dz fCoon(z) |z=Co )
ε + O(ε2)
= fCoon(co +
knε) + O(ε2) ,
где
kn = (
d/dc fCon(co ) |C=Co +
d/dz fCoon(z) |z=Co )
/ d/dz fCoon(z) |z=Co .
Так как
d/dc
fCo(n+1)(co ) |C=Co =
2 hn d/dc
fCon(co ) |C=Co + 1 ,
d/dz
fCoo(n+1)(z) |z=Co =
2 hn d/dz
fCoon(z) |z=Co ,
hn = fCoon(co )
и hn → h при больших n,
то можно показать, что kn сходится к конечному k.
Уравнение
fCo+εo(n+1)(0) =
fCoon(co + kε) +
O(ε2)
означает, что для малого ε (n+1)-ая
точка на критической орбите c = co+ε
может быть апроксимирована n-ой точкой орбиты точки
z∗ = co+kε .
Это объясняет локальную симметрию множеств Мандельрота и Жулиа.
[1] Douglas C. Ravenel Fractals and computer graphics