Фундаментальная дихотомия для множества Жулиа

Несвязное множество Жулиа

Пусть орбита критической точки z = 0 уходит на бесконечность (z = f(0) = c также уходит на бесконечность). Рассмотрим в качестве примера множество Жулиа J(4). Возьмем окружность l', проходящую через точку z = c = 4. Все точки вне этой окружности при итерациях отображения уходят на бесконечность. У каждой точки l' два прообраза ±(z - c)½ за исключением точки z = c , у которой единственный прообраз z = 0. Поэтому прообраз l' - контур в форме восьмерки l. Обе области D0 , D1 взаимно однозначно отображаются fc на область V. Множество Жулиа J(4) содержится в D0 ∪ D1 и разбивается ими на две несвязные части. Как вы видите на этих картинках, такое разбиение можно продолжать до бесконечности. Поэтому множество Жулиа разбивается на бесконечное число несвязанных компонент.

Связное множество Жулиа

Другая топологическая картина получается, если критическая орбита не уходит на бесконечность. На левом рисунке, f -1 отображает контур l' в l. Контур l' не содержит значения z = c, поэтому у каждой точки l' всегда есть два различных прообраза ±(z - c)½ и l не может иметь форму восьмерки. Аналогично, остальные замкнутые контуры вне множества Жулиа никогда, не могут иметь форму восьмерки и не могут разбить это множесто на несколько компонент.

Фундаментальная дихотомия для множества Жулиа

1. Если fcn(0) → ∞ , то J(c) множество Кантора.
2. В противном случае J(c) связное множество.

[1] John W. Milnor "Dynamics in One Complex Variable" § 9


Содержание   « Критические точки и теорема Фату   » Притягивающие неподвижные точки и периодическин орбиты
updated 25 ноября 2013