Притягивающие неподвижные точки и периодические орбиты

Производная отображения f(z) = z2 + c в неподвижной точке z = f(z)
    λ = f '(z) = 2z
- комплексное число, которое называется мультипликатором точки. Для малых ε
    f(z + ε) = f(z) + λ ε + O(ε2),
поэтому неподвижная точка является притягивающей, отталкивающей или нейтральной если |λ| < 1 или |λ| > 1 или |λ| = 1. Для орбиты с периодом-n
    f:  z1 → z2 → ... → zn = z1 ,
n точек zi (i = 1,2,...,n) будут неподвижными точками n-ой итерации f on(z) = f(f(...f(z))) отображения f
    zi = f on(zi ).
Для мультипликатора орбиты с периодом-n
    λ = (f on)' (zi ) = f '(z1 ) f '(z2 ) ... f '(zn ) = 2 n z1 z2 ... zn .

Бассейн притяжения периодической орбиты

Если zi (i = 1,2,...,n) устойчивый цикл с периодом-n, то бассейном притяжения zi называется открытое множество всех точек z для которых последовательные итерации f on(z), f o2n(z),... сходятся к zi .
Для любого c внутри (m / n) листа множества Мандельброта соответствующее множество Жулия содержит бесконечное число точек касания n областей (n = 2 и 3 для (1/2) и (1/3) листьев на приведенных рисунках). Области притягивающиеся при итерациях f on(z) к разным точкам zi окрашены в свой цвет (например, красный для z1 ). Вы видите, что в множестве Жулия только все n различных цвета могут встречаться вместе. Кроме того, они всегда одинаково упорядочены (например, "красный → синий → зеленый" при обходе против часовой стрелки).

Еще одна "ромашка" внизу.


Содержание   « Фундаментальная дихотомия для множества Жулиа   » Локальная динамика в окрестности неподвижной точки
updated 27 ноября 2013