Притягивающие неподвижные точки и периодические орбиты
Производная отображения f(z) = z2 + c в
неподвижной точке z∗ = f(z∗ )
λ = f '(z∗ ) = 2z∗
- комплексное число, которое называется мультипликатором
точки.
Для малых ε
f(z∗ + ε) =
f(z∗ ) + λ ε +
O(ε2),
поэтому неподвижная точка является притягивающей, отталкивающей или
нейтральной если |λ| < 1 или |λ| > 1
или |λ| = 1. Для орбиты с периодом-n
f: z1 → z2 →
... → zn = z1 ,
n точек zi (i = 1,2,...,n) будут неподвижными
точками n-ой итерации f on(z) = f(f(...f(z)))
отображения f
zi = f on(zi ).
Для мультипликатора орбиты с периодом-n
λ = (f on)'
(zi ) = f '(z1 ) f '(z2 ) ... f '(zn )
= 2 n z1 z2 ... zn .
Бассейн притяжения периодической орбиты
Если zi (i = 1,2,...,n) устойчивый цикл с периодом-n,
то бассейном притяжения zi называется открытое множество
всех точек z для которых последовательные итерации
f on(z), f o2n(z),...
сходятся к zi .
Для любого c внутри (m / n) листа множества
Мандельброта соответствующее множество Жулия содержит
бесконечное число точек касания n областей (n = 2 и 3
для (1/2) и (1/3) листьев на приведенных рисунках).
Области притягивающиеся при итерациях f on(z)
к разным точкам zi окрашены в свой цвет (например, красный
для z1 ).
Вы видите, что в множестве Жулия только все n различных цвета могут
встречаться вместе. Кроме того, они всегда
одинаково упорядочены (например, "красный → синий → зеленый" при
обходе против часовой стрелки).
Еще одна "ромашка" внизу.
Содержание
« Фундаментальная дихотомия для множества Жулиа
» Локальная динамика в окрестности неподвижной точки
updated 27 ноября 2013