Локальная динамика в окрестности неподвижной точки
Запишем мультипликатор λ в форме
λ = |λ| exp(iφ ).
Тогда для орбиты точки z∗ + ε
в окрестности неподвижной точки
z∗ = f(z∗ ) получим
zk = f ok(z∗ +
ε ) = z∗ +
λ kε + O(ε 2) ~ z∗ +
|λ| k eikφε .
Т.о. после каждой итерации точка поворачивается относительно
z∗ на угол φ, а радиус
умножается |λ|.
Если φ = 2π m/n, то точка zk при каждой
итерации проходит m лучей против часовой стрелки и образует
звезду из n лучей. Эти структуры более заметны при
λ = 1 + δ , |δ | << 1 (например,
около границы главной кардиоиды).
Притягивающие неподвижные точки
При |λ| < 1 все точки в окрестности притягивающей точки
приближаются к ней. Налево вы видите звезду образованную орбитой критической точки.
Неустойчивые неподвижные точки
Если c лежит в множестве Мандельброта, вне главной кардиоиды, то
|λ| > 1 и неподвижная точка становится отталкивающей
(она лежит в множестве Жулиа).
Множество Жулия разделяет область притяжения устойчивого цикла
и бассейн бесконечной точки. В окрестности z∗
вращение на 2π m/n образует n-компонентные
структуры, образуемые этими двумя бассейнами. Точки в лепестках
притягиваются к атрактору, а точки в узких "усах" уходят на бесконечность.
Ниже вы видите, что симметрия относительно вращения около репеллера
z∗ сохраняется и для "дендрита" и канторова
множества.
Содержание
« Притягивающие неподвижные точки и периодическин орбиты
» Спиральные структуры в множестве Жулиа
updated 27 ноября 2013
|