Локальная динамика в окрестности неподвижной точки

Запишем мультипликатор λ в форме
    λ = |λ| exp(iφ ).
Тогда для орбиты точки z + ε в окрестности неподвижной точки z = f(z) получим
    zk = f ok(z + ε ) = z + λ kε + O(ε 2) ~ z + |λ| k eikφε .
Т.о. после каждой итерации точка поворачивается относительно z на угол φ, а радиус умножается |λ|.

Если φ = 2π m/n, то точка zk при каждой итерации проходит m лучей против часовой стрелки и образует звезду из n лучей. Эти структуры более заметны при λ = 1 + δ , |δ | << 1 (например, около границы главной кардиоиды).

Притягивающие неподвижные точки

При |λ| < 1 все точки в окрестности притягивающей точки приближаются к ней. Налево вы видите звезду образованную орбитой критической точки.

Неустойчивые неподвижные точки

Если c лежит в множестве Мандельброта, вне главной кардиоиды, то |λ| > 1 и неподвижная точка становится отталкивающей (она лежит в множестве Жулиа). Множество Жулия разделяет область притяжения устойчивого цикла и бассейн бесконечной точки. В окрестности z вращение на 2π m/n образует n-компонентные структуры, образуемые этими двумя бассейнами. Точки в лепестках притягиваются к атрактору, а точки в узких "усах" уходят на бесконечность.
Ниже вы видите, что симметрия относительно вращения около репеллера z сохраняется и для "дендрита" и канторова множества.

Содержание   « Притягивающие неподвижные точки и периодическин орбиты   » Спиральные структуры в множестве Жулиа
updated 27 ноября 2013