Бифуркации квадратичного отображения

За динамикой вещественного квадратичного отображения удобно следить по бифуркационной диаграмме (налево внизу). Будем строить итерации fc: x1 = 0 → x2 → x3 → ...→ xMaxIt для вещественных c на плоскости (x, c). Цвета (от синего к красному) показывают, как часто орбита попадает в данную точку. (переходный процесс показывает, как быстро итерации сходятся). Вы можете также проследить за орбитой точки x = 0 при соответствующем значении c на итерационной диаграмме справа.
Управление: Щелкните мышкой, чтобы растянуть бифуркационную диаграмму в 2 раза. Щелкните мышкой с <Ctrl> чтобы сжать картинку. Держите <Shift>, чтобы растянуть изображение только в c (вертикальном) направлении. MaxIt = 2000. Координаты центра изображения x,c и Δx,Δc отображаются в текстовом поле. Синяя вертикальная линия проходит через начальную точку x = 0.
Верхняя часть диаграммы начинается с касательной бифуркации при c = 1/4. При -3/4 ≤ c ≤ 1/4 существует единственная неподвижная притягивающая точка. Рядом с c = -3/4 видна точка ветвления бифуркации удвоения периода, после чего неподвижная точка теряет устойчивость и появляется притягивающая орбита с периодом 2. Далее после новой бифуркации удвоения периода возникает орбита с периодом 4 и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода заканчивается при c = -1.401 после чего возникает область хаотической динамики, которая заканчивается кризисом при c = -2. В области хаотической динамики видны узкие горизонтальные белые полосы окон регулярнойой динамики. Самая большая полоса внизу соответствует окну с периодом 3.
В окне справа для сравнения приведено множеством Мандельброта (повернуто на 90o).

Распределение каустик на бифуркационной диаграмме

pattern Fig.1 поясняет, что каустики в распределении точек хаотических орбит генерируются экстремумами отображения. Поэтому особенности (выделяемые красным цветом) на диаграмме появляются на образах критической точки fc on(0). Обозначая gn(c) = fcon(0), получим
    go(c) = 0,   g1(c) = c,   g2(c) = c2 + c, ...
Кривые g0,1,...,6(c) показаны на Fig.2.
Crisis
Отметим, что аттрактор квадратичного отображения заключен между кривыми g1(c) и g2(c). Точка пересечения каустики с вертикальной прямой x = 0 на диаграмме соответствует окну периодической динамики.
Содержание   «Итерации квадратичного отображения   »Итерации на комплексной плоскости
изменено 9 дек 2013