Итерации квадратичного отображения

Итерационная диаграмма

За итерациями одномерного вещественного отображения удобно следить по диаграмме приведенной налево внизу. Зависимость xn от n строится в правом окне.
Управление: потащите синюю кривую, чтобы изменить значения c и xo . Нажмите <Enter> чтобы ввести новые значения параметров из текстовых полей.
Синяя кривая это N-ая итерация отображение f oN(x) = f(f(...f(x))). Т.к. для квадратичного отображения f(0) = c, то при N = 1 значение c совпадает с y(0). Координаты изменяются в пределах -2 ≤ x,y ≤ 2. Итерации начинаются с xo .
Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию из начальной точки xo к синей линии y = f(x) = x2 + c, где yo = f(xo ). Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию к зеленой диагонали y = x, где x1 = yo = f(xo ). Далее снова строим вертикальную линию к синей кривой, чтобы получить y1 = f(x1 ) и т.д.

Точки fc: xo → x1 → x2 → ... образуют орбиту точки xo .

Неподвижные точки, циклы, бифуркации отображения

Чтобы не утомлять, очень кратко.

Неподвижные точки отображения x = f(x) совпадают с пересечениями y = x и y = f(x) (т.е. зеленой и синей кривых). Так, например, при c = -1/2 итерации быстро уходят от неустойчивой неподвижной точки (правое пересечение) и сходятся к атрактору - притягивающей неподвижной точке.
При C = -1 левая неподвижная точка теряет устойчивость и у отображения появляется притягивающий цикл с периодом два (верхний рисунок слева). У второй итерации отображения f o2 при этом появляются две притягивающие неподвижные точки. Такое изменение динамики отображения называется бифуркацией. Потащите синюю кривую, чтобы проследить за бифуркацией.


Содержание   «Числа вращения для листьев 3-го уровня   »Бифуркационная диаграмма
изменено 9 дек 2013