Итерации квадратичного отображения
Итерационная диаграмма
За итерациями одномерного вещественного отображения удобно следить по
диаграмме приведенной налево внизу. Зависимость
xn от n строится в правом окне.
Управление: потащите синюю кривую, чтобы
изменить значения c и xo . Нажмите <Enter>
чтобы ввести новые значения параметров из текстовых полей.
Синяя кривая это N-ая итерация отображение
f oN(x) = f(f(...f(x))).
Т.к. для квадратичного отображения f(0) = c,
то при N = 1 значение c совпадает с y(0).
Координаты изменяются в пределах -2 ≤ x,y ≤ 2.
Итерации начинаются с xo .
Чтобы построить итерационную диаграмму, проведем красную вертикальную линию
из начальной точки xo к синей линии y = f(x) =
x2 + c, где yo = f(xo ).
Чтобы получить следующую итерацию, строим горизонтальную линию
к зеленой диагонали y = x, где x1 = yo =
f(xo ). Далее снова строим вертикальную линию к синей
кривой, чтобы получить y1 = f(x1 ) и т.д.
Точки fc: xo → x1 →
x2 → ... образуют
орбиту точки
xo .
Неподвижные точки, циклы, бифуркации отображения
Чтобы не утомлять, очень кратко.
Неподвижные точки отображения
x∗ = f(x∗ )
совпадают с пересечениями y = x и y = f(x)
(т.е. зеленой и синей кривых).
Так, например, при c = -1/2 итерации быстро
уходят от неустойчивой неподвижной точки (правое пересечение)
и сходятся к атрактору - притягивающей неподвижной точке.
При C = -1 левая неподвижная точка теряет устойчивость и
у отображения появляется притягивающий цикл с периодом два
(верхний рисунок слева). У второй итерации отображения
f o2 при этом появляются две притягивающие
неподвижные точки. Такое изменение динамики отображения называется
бифуркацией.
Потащите синюю кривую, чтобы проследить за бифуркацией.
Содержание
«Числа вращения для листьев 3-го уровня
»Бифуркационная диаграмма
изменено 9 дек 2013