Калибровочные модели

Перед тем, как рассмотреть калибровочную модель Z2, приведем некоторую мотивацию.

Калибровочное электромагнитное поле

В квантовой механике заряженная частица (со спином 0) описывается комплексной волновой функцией Ψ(x). Наблюдаемой величиной является квадрат модуля волновой функции. Поэтому ее общую фазу φ можно выбрать произвольным образом, т.е. волновую функцию можно умножить на любое e.

Изменянить фазу произвольным образом локально в каждой точке Ψ'(x) = Ψ(x) e iφ(x) нельзя, т.к. в уравнения, определяющие динамику частицы, входят частные производные μ = ∂ /∂ xμ от волновой функции и от фазового множителя появится дополнительное слагаемое с производной μφ(x). Однако можно обобщить фазовое преобразование, если сделать замену
    μ → ∂μ + Aμ ,
где Aμ = -∂μφ(x) "компенсирующее" электромагнитное поле. Из определения калибровочного поля следует, что при перемещении частицы из точки xi в xj в поле A частица приобретает дополнительный фазовый множитель
    Ui.j ~ exp(i∫ A dx),
где интеграл берется вдоль пути перемещения. Очевидно, что волновая функция Ψ с нулевым калибровочным полем и Ψ e iφ(x) с полем Aμ соответствуют одному и тому же физическому состоянию. Т.о. взаимодействие частицы с калибровочным полем вводится с помощью "длинных" производных. Чтобы описать динамику, нужно также найти выражение для энергии самого калибровочного поле.

Калибровочные поля на решетке. Z2 модель

Пусть поле "частицы" (оно нам вскоре не понадобится, т.к. мы будем рассматривать чистое калибровочное поле) задается в узлах решетки стрелками Si, которые могут вращаться вдоль оси x. Угол поворота определяется фазой поля. Чтобы сравнить ориентацию стрелок в соседних узлах решетки, нужно перенести одну из них к другой. Есть естественное правило переноса стрелок, сохраняя углы относительно листа (экрана). Однако можно использовать и другие правила.
Будем переносить стрелки вдоль ленточек, соединяющих соседние узлы. Локальному фазовому преобразованию соответствует поворот стрелки. Чтобы "скомпенсировать" этот поворот мы можем перекрутить соединяющие этот узел ленты. Тогда две конфигурации, показанные на рисунке будут соответствовать одному и тому же физическому состоянию. Эти ленты и соответствуют калибровочному полю.
В Z2 модели стрелки могут быть направлены только вверх или вниз. Очевидно, что для гладкой ленты Ui,j = 1, а для перекрученной на π полагаем Ui,j = -1. (Заметим, что перекрученная на лента эквивалентна гладкой. Поэтому мы не различаем две перекрученные в разные стороны и отличающиеся на угол ленты.)
Энергия калибровочного поля на элементарной грани решетки выражается через набег фазы на грани
    Up = U1,2 U2,3 U3,4 U4,1 .
Полная энергия находится суммированием по всем граням. Грань называется упорядоченной, если Up = 1. Очевидно, что на упорядоченной грани (например, если все Ui,j = 1) поля нет и его энергия Ep = 0. Для неупорядоченной грани с Up = -1 положим Ep = 1.

Содержание   «Антиферромагнетики   »Вихри в XY модели
изменено 18 июля 07