Изменянить фазу произвольным образом локально в каждой точке
Ψ'(x) = Ψ(x) e iφ(x) нельзя, т.к.
в уравнения, определяющие динамику частицы, входят частные производные
∂μ = ∂ /∂ xμ от волновой
функции и от фазового множителя появится дополнительное слагаемое с
производной ∂μφ(x).
Однако можно обобщить фазовое преобразование, если сделать замену
∂μ → ∂μ +
Aμ ,
где Aμ = -∂μφ(x) "компенсирующее"
электромагнитное поле. Из определения калибровочного поля следует, что при
перемещении частицы из точки xi в xj в
поле A частица приобретает дополнительный фазовый множитель
Ui.j ~ exp(i∫ A dx),
где интеграл берется вдоль пути перемещения.
Очевидно, что волновая функция Ψ с нулевым калибровочным полем и
Ψ e iφ(x) с полем Aμ
соответствуют одному и тому же физическому состоянию.
Т.о. взаимодействие частицы с калибровочным полем вводится с помощью
"длинных" производных. Чтобы описать динамику, нужно также найти выражение для
энергии самого калибровочного поле.
![]() | Будем переносить стрелки вдоль ленточек, соединяющих соседние узлы. Локальному фазовому преобразованию соответствует поворот стрелки. Чтобы "скомпенсировать" этот поворот мы можем перекрутить соединяющие этот узел ленты. Тогда две конфигурации, показанные на рисунке будут соответствовать одному и тому же физическому состоянию. Эти ленты и соответствуют калибровочному полю. |
![]() |
Энергия калибровочного поля на элементарной грани решетки выражается через
набег фазы на грани
Up = U1,2 U2,3 U3,4 U4,1 . Полная энергия находится суммированием по всем граням. Грань называется упорядоченной, если Up = 1. Очевидно, что на упорядоченной грани (например, если все Ui,j = 1) поля нет и его энергия Ep = 0. Для неупорядоченной грани с Up = -1 положим Ep = 1. |