Солитоны в XY модели

Уравнение синус-Гордона для взаимодействующих спинов в магнитном поле

Добавим в одномерной цепочке XY спинов (которые могут вращаться в одной плоскости) энергию взаимодействия с внешним магнитным полем h (направленым вдоль φ=0)
    E = -J ∑ i cos(φi - φi-1 ) - h ∑ i cos φi .
Удобно перейти к непрерывному пределу
    E = [1/2 (φ')2 + (cos φ -1 )]dx .
Тогда из условия минимальности энергии получается уравнение синус-Гордона
    φ" - sin φ = 0 .       (*)

Кинк в одномерной модели

Чтобы уменьшить полную энергию спинам выгодно соорентироваться вдоль магнитного поля. Поэтому основному минимуму соответствуют спины направленные вдоль поля.
Однако, как мы видели ранее, без поля существует топологически неэквивалентное решение со спинами повернутыми на , которому соответствует локальный минимум энергии.
Уравнение для одномерной цепочки спинов в магнитном поле (*) совпадеает с уравнением Ньютона для тела движущегося в потенциале cos x - 1 . Нас интересует решение, которое выходит из неустойчивого положения равновесия φ=0 и идет в следующий максимум потенциала φ=2π (см. например [1])
    φ(x) = 4 arctg(exp x)
В отсутствии магнитного поля фаза φ линейно зависела от x. При включении поля фаза быстро меняется только в локальной области, ширина которой определяется величиной поля. С ростон h ширина кинка уменьшается.

Очевидно, что если одновременно повернуть на некоторый угол все спины и магнитное поле, то энергия цепочки не изменится и снова будет локальным минимумом, соответствущим новому направлению поля.

2D кинк в магнитном поле

Далее возьмем 2D решетку из параллельно смещенных вдоль оси Y одномерных цепочек. Разность углов и энергия взаимодействия соответствующих спинов в ближайших цепочках равны нулю. Если мы немного повернём любой спин, то полная энергия системы может только увеличиться. Поэтому такая конфигурация 2D спинов снова соответствует локальному минимуму и топологическому солитону - доменной стенке.
На этих двух рисунках вы видите, как такой солитон образует нить, соединяющую пару вихрь-антивихрь в магнитном поле (рисунки соответствуют разной ориенации пары и магнитного поля).

Приложение: численное решение для решетки спинов

Для двумерного эллиптического уравнения синус-Гордона
    (∂x2+ ∂y2 )φ = sin φ
напишем разностную схему
    i+1,k + φi-1,k + φi,k+1 + φi,k-1 - 4φi,k )/Δ2 = sin φi,k
перепишем уравнение в виде
    φi,k = (φi+1,k + φi-1,k + φi,k+1 + φi,k-1 - Δ2sin φi,k )/4
и будем итерировать это уравнение последовательно для всех спинов. Приведенные рисунки получены после 100 итераций (см. программу для пакета Mathematica sine.nb 7 кб). Использована решетка размером (15, 30). На её границе спины направлены по полю, а в середине нити спины инвертированы. Правая половина рисунка зеркально симметрична левой. На второй картинке спины повернуты на 90о.

[1] Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля (1985 г.)


Содержание   «Возбуждения в одномерной цепочке спинов   »Топологические солитоны в Гейзенберовском ферромагнетике
изменено 30 июня 2009