Переход к хаосу через перемежаемость

Чередование фаз регулярной и хаотической динамики называется перемежаемостью. Перемежаемость наблюдается в области параметров рядом с касательной бифуркацией (в верххней части окна периодического движения на бифуркационной диаграмме). На Fig.1. показано, что при увеличении c, когда устойчивая неподвижная точка сливается с неустойчивой и обе исчезают, орбита медленно проходит через узкий "корридор" и расходится. После этой регулярной фазы орбита уходит в область с хаотической динамикой, а затем снова возвращается в корридор (реинжекция). Первые два рисунка ниже демонстрируют, как медленно расходится орбита точки x = 0 при c близком к бифуркационному значению c* = -1.75 .
Хаотические орбиты с положительными показателями Ляпунова показаны ниже. Можно показать [1], что длительность регулярной фазы пропорциональна (c* - c)-1/2. Т.е. она увеличивается в 2 раза если уменьшить (c* - c) в 4 раза, в соответствии с приведенными рисунками.

Перемежаемость на комплексной плоскости


На комплексной плоскости касательная бифуркация происходит рядом с острием кардиоиды каждого М-карлика. Для карлика с периодом 3 (налево) перемежающиеся траектории находятся на луче Im(c) = 0,   Re(c) > -1.75. Карлики m7, m8 и m50 соответствуют орбитам с периодами 7, 8, 50 (синхронизация). Периодические орбиты образуют плотное множество на этом луче.
Ниже показана периодическая орбита, соответствующая карлику m50.

[1] J.Hanssen, W.Wilcox Lyapunov Exponents for the Intermittent Transition to Chaos


Содержание   «Переход к хаосу через удвоение периода   »Канторовы структуры
изменено 6 июня 2006