Переход к хаосу через удвоение периода

Существует несколько универсальных сценариев возникновения хаоса при изменении параметров динамической системы. Удивительно, что они наблюдаются в различных системах, как с дискретным, так и с непрерывным временем.

Каскад бифуркаций удвоения периода

Как мы уже видели, при c < c1 = -3/4 производная в левой неподвижной точке становится меньше -1, точка теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл xo → x1 → xo ... с периодом 2. При этом у второй итерации отображения f o2(x) = f(f(x)) (рисунок внизу направо) появляются две притягивающие неподвижные точки соответствующие периодической орбите и одна отталкивающая неподвижная точка между ними.
Отметим, что первая и центральная часть левой картинок подобны (нужно только поменять знак y). Притягивающая неподвижная точка в центре рисунка снова теряет устойчивость при c < c2 = -5/4 и появляется аттрактор с периодом 4 и т.д. Это явление называется каскадом бифуркаций удвоения периода.
При c3 = -1.375 мы получаем притягивающую орбиту с периодом 8. "Парабола" в центре опять подобна первой картинке.

Универсальный закон подобия

Можно проследить за подобием бифуркаций удвоения периода на бифуркационной диаграмме. На первой картинке в центре вы видите первую бифуркацию удвоения периода. Следующая бифуркация (разветвление) происходит у нижнего края рисунка. Нижняя правая часть рисунка подобна всему изображению. Подобие еще заметнее на втором рисунке, где вторая бифуркация показана в увеличенном масштабе. Снова левая нижняя часть второго рисунка, соответствующая следующей бифуркации, подобна всему изображению. Эта бифуркация приведена на третьем рисунке.
При n → ∞ при каждой новой бифуркации изображения сжимаются в α = 2.5029 раза в горизонтальном направлении (x координата) и в δ =4.669 раза в вертикальном направлении (соответствует параметру c). Более того, эти константы являются универсальными (не зависят от деталей отображения f с квадратичным минимумом).

Как вы видите, подобны не только верхние части картинок, но и нижние хаотические области. Это называется обратным каскадом удвоения периода.

Критический аттрактор

С ростом числа бифуркаций n период орбиты растет как 2n и аттрактор становится очень сложным. Благодаря подобию бифуркаций cn → F (где F = -1.401155... точка Myrberg-Feigenbaum).

Содержание  Хаос в квадратичных отображениях  Переход к хаосу через перемежаемость
изменено 14 июля 2006