Переход к хаосу через удвоение периода
Существует несколько универсальных сценариев возникновения хаоса при изменении
параметров динамической системы. Удивительно, что они наблюдаются в различных
системах, как с дискретным, так и с непрерывным временем.
Каскад бифуркаций удвоения периода
Как мы уже видели, при c < c1 = -3/4 производная
в левой неподвижной точке становится меньше -1, точка теряет
устойчивость и возникает устойчивый цикл xo → x1
→ xo ... с периодом 2.
При этом у второй итерации отображения f o2(x) =
f(f(x)) (рисунок внизу направо) появляются две притягивающие неподвижные
точки соответствующие периодической орбите и одна отталкивающая неподвижная
точка между ними.
Отметим, что первая и центральная часть левой картинок подобны (нужно только
поменять знак y).
Притягивающая неподвижная точка в центре рисунка снова теряет устойчивость при
c < c2 = -5/4 и появляется аттрактор с периодом 4 и т.д.
Это явление называется каскадом бифуркаций удвоения периода.
При c3 = -1.375 мы получаем притягивающую орбиту с
периодом 8. "Парабола" в центре опять подобна первой картинке.
Универсальный закон подобия
Можно проследить за подобием бифуркаций удвоения периода на
бифуркационной диаграмме.
На первой картинке в центре вы видите первую бифуркацию удвоения периода.
Следующая бифуркация (разветвление) происходит у нижнего края рисунка.
Нижняя правая часть рисунка подобна всему изображению.
Подобие еще заметнее на втором рисунке, где вторая бифуркация показана
в увеличенном масштабе. Снова левая нижняя часть второго рисунка,
соответствующая следующей бифуркации, подобна всему изображению.
Эта бифуркация приведена на третьем рисунке.
При n → ∞ при каждой новой бифуркации изображения
сжимаются в α = 2.5029 раза в горизонтальном направлении
(x координата) и в δ =4.669 раза в вертикальном
направлении (соответствует параметру c).
Более того, эти константы являются универсальными (не зависят от деталей
отображения f с квадратичным минимумом).
Как вы видите, подобны не только верхние части картинок,
но и нижние хаотические области. Это называется обратным каскадом
удвоения периода.
Критический аттрактор
С ростом числа бифуркаций n период орбиты растет как
2n и аттрактор становится очень сложным.
Благодаря подобию бифуркаций cn → F
(где F = -1.401155... точка Myrberg-Feigenbaum).
Содержание
Хаос в квадратичных отображениях
Переход к хаосу через перемежаемость
изменено 14 июля 2006