Хаос в квадратичных отображениях
Преобразования "пекаря" для квадратичного отображения
Fig.1 иллюстрирует для квадратичного отображения преобразования растяжения
и складывания интервала Ic = [-x2,
x2 ] в себя (здесь x2 = 1/2 + (1/4 -
c)½ - правая неустойчивая неподвижная точка,
выбрана точка Myrberg-Feigenbaum c = -1.401155).
Точки вне Ic уходят на бесконечность.
После одного применения fc , все точки уходят из
[-x2, c). Интервал (c2+c,
x2] сжимается при каждой итерации. Точки покидают его и
никогда не возвращаются. Т.о. все точки из Ic попадают
в аттрактор [c, c2+c] , ограниченный кривыми
g1(c) = c и g2(c) = c2+c .
"Период 3 означает хаос"
В 1975г. Ли и Йорке опубликовали ставшую широко известной работу
"Period three implies chaos". Оказывается, что если у одномерного
отображения есть цикл с периодом 3, то оно имеет континуум случайных
траекторий.
Пусть a, b, c - элементы цикла с периодом 3 такие, что
f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a
и b < c (случай b > c рассматривается аналогично).
Как следует из рисунка, для произвольной непрерывной f(x)
обратная функция будет многозначной в интервале (b,c). При итерациях
обратного отображения точка из (a,b) попадает в интервал (b,c).
А в нем мы будем выбирать одну из ветвей случайным образом.
В результате, при итерациях прямого отображения траектория
будет посещать один из двух интервалов случайным образом,
что и означает хаотичность траектории.
Теорема Шарковского
Кроме того отображение с циклом с периодом 3 будет обладать периодическими
орбитами со всевозможными периодами. Это утверждение является
частным случаем теоремы Шарковского о том, что непрерывное отображение
с циклом с периодом n имеет также и циклы со всевозможными
периодами n', предшествующими n в списке
1 < 2 < 22 < 23 < ...
< 227 < 225 < 223 < ...
< 2·7 < 2·5 < 2·3 < ...
< 7 < 5 < 3
где ... 7 5 3 означает последовательность всех нечетныж
чисел.
Хаотическая динамика при c = -2
Рассмотрим динамику квадратичного отображения при c = -2
xn+1 = xn2 - 2 .
Оно отображает интервал [-2,2] в себя. Сделаем подстановку
x = 2 cos(πy), где -2≤ x≤ 2 и 0≤ y≤1.
После подстановки получим
cos(πyn+1) =
2 cos2(πyn ) - 1 = cos(2πyn ).
Откуда при yn ≤ 1/2 следует
yn+1 = 2yn .
При yn > 1/2 с помощью формулы
cos(2πyn ) = cos(2π-2πyn ) приводя
аргумент косинуса к интервалу [0,π] получим
yn+1 = 2 - 2yn.
Это хаотическое отображение тент.
Поэтому квадратичное отображение при c = -2 также имеет плотное на
интервале [-2, 2] множество неустойчивых периодических орбит и континуум
хаотических траекторий.
Инвариантные распределения
Дифференцируя x = 2 cos(πy) получим
|dx| = 2π |sin(πy)| dy =
π(4 - x2)½ dy. (1)
Для отображения тент (как и для зуба пилы) инвариантное распределение
ρ(y) = 1. Поэтому относительное число точек хаотической
траектории в интервале dy равно ρ(y)dy = dy.
Эти точки переходят в интервал dx из (1), поэтому
ρ(x)dx = dy и инвариантная плотность для квадратичного
отображения при c = -2
ρ(x) = dy / |dx| =
1/π(4 - x2) -½.
Среднее растяжение вдоль хаотической орбиты при c = -2
∫ |2x| ρ(x) dx = 8/π = 2.546 .
Инвариантное распределение качественно показано слева на
бифуркационной диаграмме (красный цвет соответствует большей плотности).
Аналогичные распределения получаются для точек слияния хаотических зон
и точек кризисов (два из них приведены выше).
Показатели Ляпунова при c = -2
Для квадратичного отображения f '(x) = 2x и при c = -2
показатель Ляпунова можно вычислить через плотность инвариантного распределения
Λ = ∫ ln|2x| ρ(x) dx = ln 2 = 0.693... .
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения
при c = -2. Изменяя xo
вы можете убедиться, что показатель Ляпунова L вычисленный по отрезку
такой траектории близок к точному значению Λ и хаотичны
(т.е. L > 0) почти все траектории. Исключение составляет множество
начальных точек меры ноль (например, xo = 0).
Содержание
«Подобие окон регулярной динамики
»Переход к хаосу через удвоение периода
изменено 4 янв 2014