Хаос в квадратичных отображениях

Преобразования "пекаря" для квадратичного отображения

Fig.1 иллюстрирует для квадратичного отображения преобразования растяжения и складывания интервала Ic = [-x2, x2 ] в себя (здесь x2 = 1/2 + (1/4 - c)½ - правая неустойчивая неподвижная точка, выбрана точка Myrberg-Feigenbaum c = -1.401155). Точки вне Ic уходят на бесконечность. После одного применения fc , все точки уходят из [-x2, c). Интервал (c2+c, x2] сжимается при каждой итерации. Точки покидают его и никогда не возвращаются. Т.о. все точки из Ic попадают в аттрактор [c, c2+c] , ограниченный кривыми g1(c) = c и g2(c) = c2+c .

"Период 3 означает хаос"

В 1975г. Ли и Йорке опубликовали ставшую широко известной работу "Period three implies chaos". Оказывается, что если у одномерного отображения есть цикл с периодом 3, то оно имеет континуум случайных траекторий. Пусть a, b, c - элементы цикла с периодом 3 такие, что
    f(a) = b,   f(b) = c,   f(c) = a
и b < c (случай b > c рассматривается аналогично). Как следует из рисунка, для произвольной непрерывной f(x) обратная функция будет многозначной в интервале (b,c). При итерациях обратного отображения точка из (a,b) попадает в интервал (b,c). А в нем мы будем выбирать одну из ветвей случайным образом. В результате, при итерациях прямого отображения траектория будет посещать один из двух интервалов случайным образом, что и означает хаотичность траектории.

Теорема Шарковского

Кроме того отображение с циклом с периодом 3 будет обладать периодическими орбитами со всевозможными периодами. Это утверждение является частным случаем теоремы Шарковского о том, что непрерывное отображение с циклом с периодом n имеет также и циклы со всевозможными периодами n', предшествующими n в списке
    1 < 2 < 22 < 23 < ... < 227 < 225 < 223 < ... < 2·7 < 2·5 < 2·3 < ... < 7 < 5 < 3
где   ... 7 5 3 означает последовательность всех нечетныж чисел.

Хаотическая динамика при c = -2

Рассмотрим динамику квадратичного отображения при c = -2
    xn+1 = xn2 - 2 .
Оно отображает интервал [-2,2] в себя. Сделаем подстановку x = 2 cos(πy), где -2≤ x≤ 2 и 0≤ y≤1. После подстановки получим
    cos(πyn+1) = 2 cos2(πyn ) - 1 = cos(2πyn ).
Откуда при yn ≤ 1/2 следует
    yn+1 = 2yn .
При yn > 1/2 с помощью формулы cos(2πyn ) = cos(2π-2πyn ) приводя аргумент косинуса к интервалу [0,π] получим
    yn+1 = 2 - 2yn.
Это хаотическое отображение тент. Поэтому квадратичное отображение при c = -2 также имеет плотное на интервале [-2, 2] множество неустойчивых периодических орбит и континуум хаотических траекторий.

Инвариантные распределения

Дифференцируя x = 2 cos(πy) получим
    |dx| = 2π |sin(πy)| dy = π(4 - x2)½ dy.       (1)
Для отображения тент (как и для зуба пилы) инвариантное распределение ρ(y) = 1. Поэтому относительное число точек хаотической траектории в интервале dy равно ρ(y)dy = dy. Эти точки переходят в интервал dx из (1), поэтому ρ(x)dx = dy и инвариантная плотность для квадратичного отображения при c = -2
    ρ(x) = dy / |dx| = 1/π(4 - x2).
Среднее растяжение вдоль хаотической орбиты при c = -2
    ∫ |2x| ρ(x) dx = 8/π = 2.546 .
Инвариантное распределение качественно показано слева на бифуркационной диаграмме (красный цвет соответствует большей плотности).
Аналогичные распределения получаются для точек слияния хаотических зон и точек кризисов (два из них приведены выше).

Показатели Ляпунова при c = -2

Для квадратичного отображения f '(x) = 2x и при c = -2 показатель Ляпунова можно вычислить через плотность инвариантного распределения
    Λ = ∫ ln|2x| ρ(x) dx = ln 2 = 0.693... .
Ниже строится хаотическая траектория квадратичного отображения при c = -2. Изменяя xo вы можете убедиться, что показатель Ляпунова L вычисленный по отрезку такой траектории близок к точному значению Λ и хаотичны (т.е. L > 0) почти все траектории. Исключение составляет множество начальных точек меры ноль (например, xo = 0).

Содержание   «Подобие окон регулярной динамики   »Переход к хаосу через удвоение периода
изменено 4 янв 2014