Нелинейный резонанс

На этой страничке мотивируется универсальность динамики стандартного отображения. Сначала мы напоминаем основные свойства нелинейного маятника. Далее поясняется возникновение резонансных слагаемых в теории возмущений и вводится понятие нелинейного резонанса. Лучше это прочитать в учебнике. Без особого вреда вы можете перейти прямо к стандартному отображению.

Нелинейный маятник

Гамильтониан и уравнения движения нелинейного маятника
    H(p,x) = p2/2 + V(x) = p2/2 + Vocos x = E = const
    dx/dt = ∂ H/∂ p = p ,     dp/dt = -∂ H/∂ x = Vo sin x
.
При -Vo < E < Vo частица осциллирует между двумя точками поворота. На фазовой плоскости (x, p) орбита вращается (синий овал) вокруг эллиптической неподвижной точки O (положения равновести при x = π ). При E > Vo частица проходит над максимумом потенциала V(x) и уходит на бесконечность. Т.к. V(x) периодично, то можно рассмотреть движение на цилиндре и соединить точки 0 и . Красная сепаратриса (или гомоклиническая орбита) при E = Vo разделяет эти две области. Она выходит из одной гиперболической точки X (положения неустойчивого равновесия в x = 2πn) и приходит в другую. Движение около сепаратрисы очень чувствительно к возмущениям, т.к. даже малое возмущение может перебросить частицу над барьером и изменить топологию орбиты. Ширина гомоклинической орбиты
    max Δp = 4 V o1/2.

Резонансы

В канонических переменных угол-действие (I, θ) гамильтониан системы с одной степенью свободы H(I) зависит только от I и уравнения движения
    dI/dt = -∂H(I)/∂θ = 0 ,     I = const ,
    dθ/dt = ∂H(I)/∂I = ω(I) = const
.
При включении периодического возмущения V(I, θ, t) = V(I, θ, t + T)
    H(I, θ, t) = Ho(I) + εV(I, θ, t) = Ho(I) + ε∑ n,m Vnm(I) einθ - imΩt ,
    dI/dt = -∂ H/∂ θ = -iε∑ n,m nVnm(I) einθ - imΩt
,     (*)
    dθ/dt = ∂ H/∂ I .
где Ω = 2π /T. Для малых ε можно искать решение в виде ряда
    I = I o + εI 1 + ... ,   θ = θ o + εθ 1 + ... ,
    I o = const,   θ o = ω(I o)t .

После подстановки I o, θ o в (*) получим
    dI 1/dt = -i∑ n,m nVnm(I o) exp[i(nω(I o) - mΩ)t] ,
    I 1 = -∑ n,m nVnm(I o) /[nω(I o) - mΩ]   ei[nω(I o) - mΩ]t + const
.
В резонансе nω(I) - mΩ = δnm ~ 0 , I 1 и θ 1 содержат расходящиеся слагаемые с малыми знаменателями Vnmnm. В нелинейных системах частота ω(I) зависит от I, поэтому резонансы при некоторых I, n, m могут возникать на любой частоте Ω.

Приближение одиночного резонанса. Универсальный гамильтониан

Чтобы избежать расходимости для одиночного резонанса можно решить (*) учитывая расходящееся слагаемые с nω - mΩ ~ 0
    dI/dt = εnVnm sin(nθ - mΩt + φ) ,
    dθ/dt = ω(I) + ε dVnm/dI cos(nθ - mΩt + φ)
.
Соответствующий гамильтониан
    H = Ho(I) + εVnm(I) cos(ψ),   ψ = nθ - mΩt + φ.
Для малых ΔI = I - Io его можно привести к гамильтониану нелинейного маятника
    H(ΔI, ψ) = nω' ΔI 2/2 + nεV cos( ψ ) ,     ω' = dω/dI .
Т.о. независимо от ω(I), V(I) динамика около одиночного резонанса приближенно описывается этим универсальным гамильтонианом. Резонансные слагаемые приводят к появлению гомоклинических траекторий на фазовой плоскости (ψ, ΔI) (подобных Fig.1) с шириной
    max ΔI = 4 (εV/|ω'|)1/2 .
Нерезонансные слагаемые приводят к хаотической динамике около гомоклинических траекторий. Чтобы увидеть это можно строить точки траектории в моменты t = nT. Одним из примеров является стандартное отображение. Ниже вы видите резонансы, инвариантные окружности и хаотические области около гомоклинических траекторий.

Содержание   «Странный аттрактор Эно   »Стандартное отображение
изменено 19 мая 2006