Стандартное отображение

Сохраняющее площадь стандартное (или Тейлора-Чирикова) отображение
    pn+1 = pn + K sin xn ,
    xn+1 = xn + pn+1   (mod 2π )
.     (*)
Его можно получить как отображение Пуанкаре для ротатора - твердого вращающегося тела под действием возмущения K sin(x) в моменты времени nT с гамильтонианом (мы положили T = 1)
    H(p,x) = p2/2 + K cos(x) ∑ n δ(t - nT) = p2/2 + K cos(x) ∑ m ei 2π mt.
Отображение обратимо
    xn = xn+1 - pn+1 ,
    pn = pn+1 - K sin xn   (mod 2π ).

Оно инвариантно относительно преобразований (x, p) → (-x, -p) и (π + x, p) → (π - x, -p), т.е. симметрично относительно точки (0, 0) и центра картинки (π, 0). Из-за операции mod 2π удобно считать, что отображение действует на торе.
Управление: Щелкните мышкой, чтобы получить новую (красную) орбиту. Щелкните мышкой с клавишей Alt/Ctrl, чтобы изменить масштаб. Держите Shift, чтобы изменить масштаб только в вертикальном направлении. It - число точек в орбите. Число случайных орбит показано в последнем текстовом поле. Нажмите Enter, чтобы ввести новые значения. Координаты центра картики x, p и Δ x, Δ dp показаны в первом текстовом окне.

Почти интегрируемая динамика

При K = 0 движение интегрируемое.
    pn = ω = const,     xn = nω   (mod 2π) .
Это равномерное вращение. Каждая орбита лежит на инвариантной окружности p = const. При рациональном ω все орбиты периодические. При иррациональном ω они квазипериодические и плотно покрывают окружность.
При малых K мы получаем резонансный остров при p = 0 (в центре левого изображения). При малых K и p разности в (*) можно приблизительно заменить [1] на производные
    dx/dt = p,     dp/dt = K sin x .
Это снова уравнение нелинейного маятника с гамильтонианом
    H = p2/2 + K sin x .
Сеператриса H = K ограничивает резонансный осров. Его ширина
    max Δp = 4 K1/2.
Например полуширина равна 0.632 при K = 0.1 . Щелкните мышкой в левый рисунок, чтобы получить x, p в строке состояния браузера.

[1] J.D.Meiss "Symplectic Maps, Variational Principles, and Transport" Rev.Mod.Phys. 64, 795-848, (1992)


Содержание   «Нелинейный резонанс   »Гомоклинические структуры в стандартном отображении
изменено 19 мая 2006