Стандартное отображение
Сохраняющее площадь стандартное (или Тейлора-Чирикова) отображение
pn+1 = pn + K sin xn ,
xn+1 = xn + pn+1
(mod 2π ) . (*)
Его можно получить как отображение Пуанкаре для ротатора -
твердого вращающегося тела под действием возмущения K sin(x)
в моменты времени nT с гамильтонианом (мы положили T = 1)
H(p,x) = p2/2 + K cos(x)
∑ n δ(t - nT) = p2/2 + K cos(x)
∑ m ei 2π mt.
Отображение обратимо
xn = xn+1 - pn+1 ,
pn = pn+1 - K sin xn
(mod 2π ).
Оно инвариантно относительно преобразований (x, p) → (-x, -p)
и (π + x, p) → (π - x, -p), т.е. симметрично относительно
точки (0, 0) и центра картинки (π, 0).
Из-за операции mod 2π удобно считать, что отображение
действует на торе.
Управление: Щелкните мышкой, чтобы получить новую (красную) орбиту.
Щелкните мышкой с клавишей Alt/Ctrl, чтобы изменить масштаб.
Держите Shift, чтобы изменить масштаб только в вертикальном направлении.
It - число точек в орбите. Число случайных орбит показано в последнем
текстовом поле. Нажмите Enter, чтобы ввести новые значения.
Координаты центра картики x, p и Δ x, Δ dp
показаны в первом текстовом окне.
Почти интегрируемая динамика
При K = 0 движение интегрируемое.
pn = ω = const,
xn = nω (mod 2π) .
Это равномерное вращение. Каждая орбита лежит на инвариантной
окружности p = const. При рациональном ω все орбиты периодические.
При иррациональном ω они квазипериодические и плотно покрывают
окружность.
При малых K мы получаем резонансный остров при p = 0
(в центре левого изображения). При малых K и p
разности в (*) можно приблизительно заменить [1] на производные
dx/dt = p, dp/dt = K sin x .
Это снова уравнение нелинейного маятника с
гамильтонианом
H = p2/2 + K sin x .
Сеператриса H = K ограничивает резонансный осров. Его ширина
max Δp = 4 K1/2.
Например полуширина равна 0.632 при K = 0.1 . Щелкните
мышкой в левый рисунок, чтобы получить x, p в строке состояния браузера.
[1] J.D.Meiss
"Symplectic Maps, Variational Principles, and Transport" Rev.Mod.Phys. 64, 795-848, (1992)
Содержание
«Нелинейный резонанс
»Гомоклинические структуры в стандартном
отображении
изменено 19 мая 2006