Двумерная бифуркационная диаграмма. "Ласточки" и "креветки"

Напомним, что главной особенностью области регулярной динамики квадратичного отображения, окруженной хаотической областью, является существование параметра c при котором отображение имеет сверхустойчивый цикл периода n (включающий критическую точку отображения). В этой области итерации f on(x) хорошо апроксимируются квадратичным отображением.
При наличии двух параметров, орбита будет сверхустойчивой вдоль некоторой кривой в пространстве параметров. В перперндикулярном к этой кривой направлении бифуркации будут повторять бифуркации квадратичного отображения.
Однако, если у отображения более чем одна критическая точка, то в точке пересечения двух кривых сверхустойчивости орбита становится дважды-сверхустойчивой. Рядом с этой точкой она хорошо апроксимируется композицией двух квадратичных отображений
    y' = x2 + c1 ,     x' = y2 + c2   или
    x' = (x2 + c1)2 + c2 ,
и линейной заменой координат (A,B) сводится к каноническому биквадратичному отображению [1,2]. Здесь на плоскости (A,B) вы видите "ласточку" (или "креветку") соответствующую окну регулярной динамики с периодом 3.
Управление Щелкните мышкой, чтобы определить период орбиты n в выбранной точке. Щелкните мышкой + <Alt>(<Ctrl>) чтобы увеличить (уменьшить) изображение в 2 раза. Держите <Shift> чтобы изменить масштаб в 4 раза.

Биквадратичное отображение и ласточка Милнора

Как видно из Fig.1, у вещественного биквадратичного отображения, зависящего от двух вещественных параметров (A,B)
    xn+1 = f(xn ) = (xn2 + A)2 + B
может быть одна или две устойчивые неподвижные точки. Каждая из них притягивает к себе ближайшие критические точки
    x0 = 0   или
    x1,2 = ±(-A)1/2   при   A < 0
(очевидно, что орбиты, начинающиеся в x1 и x2 совпадают). Пусть A = -1, тогда при B ~ 1 происходит первая касательная бифуркация в которой рождаются устойчивая и неустойчивая неподвижные точки (самая верхняя кривая - a на рисунке). При уменьшении B происходит вторая касательная бифуркация и у отображения появляется еще одна притягивающая точка (кривая - b). Наконец, далее происходит обратная касательная бифуркация при которой устойчивая точка сливается с неустойчивой и они обе исчезают (самая нижняя кривая - c).

На Fig.2 внизу на плоскость параметров (A,B) построены три красные кривые на которых происходят эти касательные бифуркации. Там же построена парабола B = -A2 на которой критическая точка x0 совпадает с неподвижной. На параболе A = -B2 неподвижна x1. Эти кривые образуют силуэт "ласточки Милнора" [1].

"Охотник за креветками"

Для построения бифуркационной диаграммы при каждом значении (A,B) отображение итерируется 500 раз (начиная с одной из критических точек), после чего определяется период полученной траектории. Если итерации выходят на периодическую орбиту, тоочка окрашивается в соответствии с периодом. Если период больше 64, то строится черная точка, чтобы улучшить видимость маленьких "креветок". Заметим, что из-за медленной сходимости итераций в областях бифуркаций на картинке могут появляться нехаотические черные полосы между областями с разными периодами.

[1] J.Milnor "Remarks on iterated cubic maps" Exp.Math. 1 (1992), 5.
[2] B.R.Hunt, J.A.C.Gallas, C.Grebogi, J.A.Yorke, and H.Kocak Bifurcation Rigidity
Physica D 129 (1999), 35.
[3] Canonical Quartic Map


Содержание   «"переходный" хаос   »Отображение окружности
изменено 28 июля 2015