Параболические неподвижные точки и диск Зигеля

Если мультипликатор неподвижной точки |λ| ≠ 1, то динамика в ее окрестности сводится к простому притяжению или отталкиванию. Все усложняется при |λ| = 1.
Если мультипликатор является корнем из единицы λq = 1 (или λ = e2π i p/q, где p, q - целые, а число вращения x = p/q - рациональное), то такая неподвижная точка называется параболической. Например, как мы видели ранее, при c → 1/4 устойчивая и неустойчивая неподвижные точки сливаются и образуют параболическую неподвижную точку с мультипликатором λ = 1 (в центре квадрата на рисунке ниже). У этой точки от аттрактора осталось притягивающее направление (как вы видите, слева орбита точки z = 0 (белые точки) притягивается к параболической неподвижной точке). А от репеллера осталось отталкивающее направление (уходящие в бесконечность точки из узкого цветного языка справа).
Ниже вы видите параболическую точку с тремя притягивающими и отталкивающими направлениями.
Если λ = e2π i x, где x - вещественное иррациональное число вращения, то "почти для всех" x в окрестности неподвижной точки отображение сводится к повороту на угол 2π x, образуя диск Зигеля. При некоторых иррациональных x отображение не сводится к вращениям. Такие неподвижные точки называются точками Кремера. На компьютере невозможно отличить рациональную и иррациональную точки. Однако у математиков есть строгие доказательства существования точек Зигеля и Кремера [1].

Налево вы видите, что точки выходящие из z = -0.2 + 0.2i вращаются вокруг неподвижной точки. Вполне правдоподобно, что это - диск Зигеля (по крайней мере для 1500 итераций :)

[1] Дж.Милнор "Голоморфная динамика"


Содержание   « Бифуркация утроения периода   » Подобие окон периодической динамики
updated 1 сент 2015