Параболические неподвижные точки и диск Зигеля
Если мультипликатор неподвижной точки |λ| ≠ 1, то динамика
в ее окрестности сводится к простому притяжению или отталкиванию.
Все усложняется при |λ| = 1.
Если мультипликатор является корнем из единицы
λq = 1
(или λ = e2π i p/q, где p, q
- целые, а число вращения x = p/q - рациональное),
то такая неподвижная точка называется параболической.
Например, как мы видели ранее,
при c → 1/4 устойчивая и неустойчивая
неподвижные точки сливаются и образуют параболическую неподвижную точку
с мультипликатором λ = 1 (в центре квадрата на рисунке ниже).
У этой точки от аттрактора осталось притягивающее направление
(как вы видите, слева орбита точки z = 0 (белые точки) притягивается
к параболической неподвижной точке). А от репеллера осталось отталкивающее
направление (уходящие в бесконечность точки из узкого цветного языка справа).
Ниже вы видите параболическую точку с тремя притягивающими и
отталкивающими направлениями.
Если λ = e2π i x, где x - вещественное
иррациональное число вращения, то "почти для всех" x в окрестности
неподвижной точки отображение сводится к повороту на угол 2π x,
образуя диск Зигеля.
При некоторых иррациональных x отображение не сводится к вращениям.
Такие неподвижные точки называются точками Кремера.
На компьютере невозможно отличить рациональную и иррациональную точки.
Однако у математиков есть строгие доказательства существования точек
Зигеля и Кремера [1].
Налево вы видите, что точки выходящие из z = -0.2 + 0.2i вращаются
вокруг неподвижной точки. Вполне правдоподобно, что это - диск Зигеля
(по крайней мере для 1500 итераций :)
[1] Дж.Милнор "Голоморфная динамика"
Содержание
« Бифуркация утроения периода
» Подобие окон периодической динамики
updated 1 сент 2015