Подобие окон периодической динамики
Окна периодической динамики
Общая особенность для хаотических динамических систем состоит в том [1],
что при изменения параметров рождается устойчивая и
неустойчивая орбиты с периодом n (касательная бифуркация).
Далее происходит переход к хаосу через
каскад удвоения периода. Все заканчивается кризисом, при котором неустойчивая
орбита с периодом n рожденная в исходной касательной бифуркации
сталкивается с хаотическим аттракторм. Область параметров между касательной
бифуркацией и кризисом называется окном периодической динамики с периодом n.
Заметим, что центральная часть рисунка подобна всей бифуркационной
диаграмме (см. рисунки внизу страницы).
Так при c = -1.75 в окне с периодом 3 в результате
тангенциальной бифуркации отображения f o3
возникают утойчивая и неустойчивая орбиты с периодом 3
(в верхней части окна).
Устойчивая орбита с периодом 3 показана ниже налево.
Если задать N = 3 (рисунок направо), то мы получим 8
пересечений (неподвижных точек отображения f o3).
Два из них - неустойчивые неподвижные точки. Остальные шесть пересечений
принадлжат устойчивой и неустойчивой орбитам с периодом 3.
На левом рисунке периодическая орбита проходит через два "линейных"
(по краям) и один квадратичный участок параболы (в центре). Поэтому
в окрестности x = 0 отображение f o3
с точностью до растяжений совпадет с квадратичным (это преобразование
называется перенормировкой отображения) и при изменении
параметра c повторяет бифуркации квадратичного отображения.
Это и объясняет подобие бифуркационных диаграмм f on.
Ширина окна. "Линейное" приближение
Рассмотрим окно с периодом n (см. картинку выше). При итерациях орбита
критической точки последовательно перемещается между n узкими интервалами
S1 → S2 → S3 → ...
→ S1 с длиннами sj (мы выбрали
S1 так, чтобы он включал критическую точку x = 0).
Следуя [1,2], рассмотрим fcon(x) при малом
x (в центральном узком интервале S1 ) и для c
около значения cc соответствующего сверхустойчивости
притягивающей орбиты с периодом n. Размеры интервалов
sj малы и отображение в интервалах
S2 , S2 , ... Sn можно считать
приближенно линейными, оставляя в центральном интервале квадратичный член.
Тогда
xj+n ~ Λn
[xj2 + β(c - cc )],
где Λn = λ2 λ 3
...λn произведение производных отображения
λj = 2xj в (n-1) нецентральных
интервалах и
β = 1 + λ2-1 +
(λ2 λ3 )-1 +
... + Λn-1 ~ 1
при больших Λn.
Вычислим Λn при c = cc и
будем считать его постоянным в узком окне.
Вводя X = Λnx и
C = βΛn2(c - cc )
получаем квадратичное отображение
Xj+n ~ Xn2 + C.
Т.о. ширина окна
~ (9/4β)Λn-2,
а ширина центрального интервала Λn-1.
Числа
Для самого большого окна окна с периодом 3 параметры скейлинга
Λ3 = -9.30 и β = 0.608. Т.о. центральная
зона сжата ~ 9 раз и зеркально отражена относительно линии x = 0.
Ширина окна сжата в βΛ32 = 52.5
раз. Налево внизу приведена бифуркационная диаграмма fc.
Подобное изображение направо расположено в центральной зоне самого большого
окна с периодом 3. Окно растянуто в 9 раз в горизонтальном
x направлении и в 54 раза в вертикальном c направлении.
[1] J.A.Yorke, C.Grebogi, E.Ott, and L.Tedeschini-Lalli
"Scaling Behavior of Windows in Dissipative Dynamical Systems"
Phys.Rev.Lett. 54, 1095 (1985)
[2] B.R.Hunt, E.Ott
Structure in the
Parameter Dependence of Order and Chaos for the Quadratic Map
J.Phys.A 30 (1997), 7067.
Содержание
«Параболические неподвижные точки и диск Зигеля
»Перенормировка множества Жулиа
изменено 29 ноября 2013