Подобие окон периодической динамики

Окна периодической динамики

Общая особенность для хаотических динамических систем состоит в том [1], что при изменения параметров рождается устойчивая и неустойчивая орбиты с периодом n (касательная бифуркация). Далее происходит переход к хаосу через каскад удвоения периода. Все заканчивается кризисом, при котором неустойчивая орбита с периодом n рожденная в исходной касательной бифуркации сталкивается с хаотическим аттракторм. Область параметров между касательной бифуркацией и кризисом называется окном периодической динамики с периодом n. Заметим, что центральная часть рисунка подобна всей бифуркационной диаграмме (см. рисунки внизу страницы).

Так при c = -1.75 в окне с периодом 3 в результате тангенциальной бифуркации отображения f o3 возникают утойчивая и неустойчивая орбиты с периодом 3 (в верхней части окна). Устойчивая орбита с периодом 3 показана ниже налево. Если задать N = 3 (рисунок направо), то мы получим 8 пересечений (неподвижных точек отображения f o3). Два из них - неустойчивые неподвижные точки. Остальные шесть пересечений принадлжат устойчивой и неустойчивой орбитам с периодом 3.
На левом рисунке периодическая орбита проходит через два "линейных" (по краям) и один квадратичный участок параболы (в центре). Поэтому в окрестности x = 0 отображение f o3 с точностью до растяжений совпадет с квадратичным (это преобразование называется перенормировкой отображения) и при изменении параметра c повторяет бифуркации квадратичного отображения. Это и объясняет подобие бифуркационных диаграмм f on.

Ширина окна. "Линейное" приближение

Рассмотрим окно с периодом n (см. картинку выше). При итерациях орбита критической точки последовательно перемещается между n узкими интервалами S1 → S2 → S3 → ... → S1 с длиннами sj (мы выбрали S1 так, чтобы он включал критическую точку x = 0).
Следуя [1,2], рассмотрим fcon(x) при малом x (в центральном узком интервале S1 ) и для c около значения cc соответствующего сверхустойчивости притягивающей орбиты с периодом n. Размеры интервалов sj малы и отображение в интервалах S2 , S2 , ... Sn можно считать приближенно линейными, оставляя в центральном интервале квадратичный член. Тогда
    xj+n ~ Λn [xj2 + β(c - cc )],
где Λn = λ2 λ 3 ...λn произведение производных отображения λj = 2xj в (n-1) нецентральных интервалах и
    β = 1 + λ2-1 + (λ2 λ3 )-1 + ... + Λn-1 ~ 1
при больших Λn. Вычислим Λn при c = cc и будем считать его постоянным в узком окне. Вводя X = Λnx и C = βΛn2(c - cc ) получаем квадратичное отображение
    Xj+n ~ Xn2 + C.
Т.о. ширина окна ~ (9/4β)Λn-2, а ширина центрального интервала Λn-1.

Числа

Для самого большого окна окна с периодом 3 параметры скейлинга Λ3 = -9.30 и β = 0.608. Т.о. центральная зона сжата ~ 9 раз и зеркально отражена относительно линии x = 0. Ширина окна сжата в βΛ32 = 52.5 раз. Налево внизу приведена бифуркационная диаграмма fc. Подобное изображение направо расположено в центральной зоне самого большого окна с периодом 3. Окно растянуто в 9 раз в горизонтальном x направлении и в 54 раза в вертикальном c направлении.

[1] J.A.Yorke, C.Grebogi, E.Ott, and L.Tedeschini-Lalli   "Scaling Behavior of Windows in Dissipative Dynamical Systems" Phys.Rev.Lett. 54, 1095 (1985)
[2] B.R.Hunt, E.Ott  Structure in the Parameter Dependence of Order and Chaos for the Quadratic Map  J.Phys.A 30 (1997), 7067.


Содержание   «Параболические неподвижные точки и диск Зигеля   »Перенормировка множества Жулиа
изменено 29 ноября 2013