Симметрия множества Жулиа

fc(z) четная функция, поэтому J(c) симметрично относительно начала координат.

Т.к. множество Жулиа J(c) состоит из всех точек zj комплексной плоскости, которые не сходятся к некоторому аттрактору (он может находиться и в бесконечности) при итерациях fc , то очевидно, что итерации точки y = fc(zj ) также не сходятся ни к какому атрактору, т.е. J(c) инвариантно относительно fc .

Множество J(0)

Если представить   z = r e, то
    fо(z) = z 2 = r 2e 2iφ     (*).
Множество Жулиа J(0) будет окружностью единичного радиуса. Отображение fо дважды "обертывает" ее на себя и динамика точек на окружности совпадает с динамикой одномерного хаотического отображения "зуб пилы". Поэтому неустойчивые периодические орбиты плотны на этом множестве и прообразы любой неустойчивой орбиты также всюду плотны. Эти свойства справедливы для множества Жулиа при любом с.

Самоподобие множества Жулиа

В соответствии с (*) fc половину множества Жулиа гладко отображает на все множество. Более того, все множество Жулиа может быть получено из любого его участка отображением fcon с конечным n. Поэтому множество Жулиа самоподобно.

Налево вы можете проследить за динамикой квадратичного отображения. Внутренность белого квадрата отображается в светлую область. Видно, что изображения в обеих областях подобны (деформация образа квадрата обусловлена слагаемыми  2 и выше в разложении Тейлора).

Вы можете убедиться, что все тройные точки касания "листьев" множества Жулиа являются прообразами неустойчивой неподвижной точки z1. Эти прообразы всюду плотны на множестве.

Управление: Потащите мышкой белый квадрат, чтобы переместить его. Указаны координаты центра белого квадрата.

Здесь вы можете убедиться в самоподобии "карликовых" множеств Жулиа.

Как вы видите канторово множество "цветная капуста" ("cauliflower") J(0.35) также самоподобно.


Содержание   «Итерации обратного отображения   »Критические точки и теорема Фату
изменено 10 дек 2013