Симметрия множества Жулиа
fc(z) четная функция, поэтому J(c) симметрично
относительно начала координат.
Т.к. множество Жулиа J(c) состоит из всех точек zj
комплексной плоскости, которые не сходятся к некоторому аттрактору (он
может находиться и в бесконечности) при итерациях fc , то
очевидно, что итерации точки y = fc(zj )
также не сходятся ни к какому атрактору, т.е. J(c) инвариантно
относительно fc .
Множество J(0)
Если представить z = r e iφ, то
fо(z) = z 2 =
r 2e 2iφ (*).
Множество Жулиа J(0) будет окружностью единичного радиуса.
Отображение fо дважды "обертывает" ее на себя
и динамика точек на окружности совпадает с динамикой одномерного
хаотического отображения "зуб пилы".
Поэтому неустойчивые периодические орбиты плотны на этом множестве
и прообразы любой неустойчивой орбиты также всюду плотны.
Эти свойства справедливы для множества Жулиа при любом с.
Самоподобие множества Жулиа
В соответствии с (*) fc половину множества Жулиа
гладко отображает на все множество.
Более того, все множество Жулиа может быть получено из любого
его участка отображением fcon
с конечным n. Поэтому множество Жулиа самоподобно.
Налево вы можете проследить за динамикой квадратичного отображения.
Внутренность белого квадрата отображается в светлую область.
Видно, что изображения в обеих областях подобны
(деформация образа квадрата обусловлена слагаемыми
~ε 2 и выше в разложении Тейлора).
Вы можете убедиться, что все тройные точки касания "листьев"
множества Жулиа являются прообразами неустойчивой неподвижной
точки z1. Эти прообразы всюду плотны на множестве.
Управление: Потащите мышкой белый квадрат, чтобы переместить его.
Указаны координаты центра белого квадрата.
Здесь вы можете убедиться в самоподобии
"карликовых" множеств Жулиа.
Как вы видите канторово множество "цветная капуста" ("cauliflower")
J(0.35) также самоподобно.
Содержание
«Итерации обратного отображения
»Критические точки и теорема Фату
изменено 10 дек 2013