Robert L. Devaney
Числа вращения и внутренние углы
"Кактус Мандельброта" ("квадратичная" параметризация).
Множество Мандельброта образуется множеством листьев (bulbs).
Главной кардиоиды непосредственно касаются первичные листья (primary
bulbs). Их в свою очередь касается бесконечное число меньших листьев и т.д.
Известно, что если c лежит внутри некоторого листа, то орбита
zo = 0 притягивается к циклу с периодом n.
При "квадратичной" параметризации
c = 1/4 - a2
zn+1 = zn2 +
1/4 - a2
главная кардиоида М-множества "распрямляется" в окружность с радиусом
r = 1/2. Первичный (m/n)-лист касается этой окружности под
внутренним углом
φ = 2π m/n
где m/n называется числом вращения
(например 1/2 → 180 o,
1/3 → 120 o и
1/4 → 90 o).
1. Если c лежит в первичном листе с периодом n (3 или 5 для
изображений выше), то число вращения листа можно определить по звезде
притягивающей орбиты с периодом n: z1 → z2
→...→ zn → z1. При каждой итерации
fc точка zi прыгает точно на m
позиций против часовой стрелки. Можно также сказать, что цикл поворачивается
против часовой стрелки на угол 2π m/n.
2. Jc-множество содержит бесконечно много
точек в которых соединяется n различных черных областей. Самая маленькая
черная область повернута на m позиций против часовой стрелки относительно
самой большой центральной области.
3. Число ветвей в самой большой "антенне" прикрепленной к первичному
листу равно его периоду. И самая короткая ветка расположена на m-ой
позиции (против часовой стрелки) от основания антенны (здесь использована
обычная "C" параметризация).
Это правило следует из подобич антенны в окрестности точки
Мисюревича и соответствующего множеств Жулиа (см.
Подобие множеств Мандельброта и Жулиа).
[1] Robert L. Devaney The Fractal Geometry of the Mandelbrot Set II.
How to Count and How to Add:
3 Periods of the Bulbs
Содержание
«Введение
»Упорядочивание первичных листьев
изменено 12 окт 13