Robert L. Devaney

Числа вращения и внутренние углы

"Кактус Мандельброта" ("квадратичная" параметризация).

Множество Мандельброта образуется множеством листьев (bulbs). Главной кардиоиды непосредственно касаются первичные листья (primary bulbs). Их в свою очередь касается бесконечное число меньших листьев и т.д. Известно, что если c лежит внутри некоторого листа, то орбита zo = 0 притягивается к циклу с периодом n. При "квадратичной" параметризации c = 1/4 - a2
    zn+1 = zn2 + 1/4 - a2
главная кардиоида М-множества "распрямляется" в окружность с радиусом r = 1/2. Первичный (m/n)-лист касается этой окружности под внутренним углом
    φ = 2π m/n
где m/n называется числом вращения (например 1/2 → 180 o, 1/3 → 120 o и 1/4 → 90 o).
1. Если c лежит в первичном листе с периодом n (3 или 5 для изображений выше), то число вращения листа можно определить по звезде притягивающей орбиты с периодом n: z1 → z2 →...→ zn → z1. При каждой итерации fc точка zi прыгает точно на m позиций против часовой стрелки. Можно также сказать, что цикл поворачивается против часовой стрелки на угол m/n.
2. Jc-множество содержит бесконечно много точек в которых соединяется n различных черных областей. Самая маленькая черная область повернута на m позиций против часовой стрелки относительно самой большой центральной области.
3. Число ветвей в самой большой "антенне" прикрепленной к первичному листу равно его периоду. И самая короткая ветка расположена на m-ой позиции (против часовой стрелки) от основания антенны (здесь использована обычная "C" параметризация). Это правило следует из подобич антенны в окрестности точки Мисюревича и соответствующего множеств Жулиа (см. Подобие множеств Мандельброта и Жулиа).

[1] Robert L. Devaney The Fractal Geometry of the Mandelbrot Set II.
How to Count and How to Add: 3 Periods of the Bulbs


Содержание   «Введение   »Упорядочивание первичных листьев
изменено 12 окт 13